Ángulos
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Ángulo
En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Definición de ángulo Descripción: Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan. Tutorial 1 (3'58") Sinopsis: Ángulos: definición, clasificación y medida. Tutorial 2 (10'39") Sinopsis: Ángulos: definición, clasificación y medida. Tutorial 3 (9'29") Sinopsis: Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular |
Tipos de ángulos
Clasificación de los ángulos según su abertura
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:
- Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
- Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
- Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
- Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.
En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.
En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.
En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.
En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.
Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.
Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice
- Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
- Ángulos suplementarios: Son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
- Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
En esta escena podrás interactuar con ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
Medida de ángulos
Sistema sexagesimal
En este sistema la unidad es el grado sexagesimal y el ángulo completo tiene 360º.El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.
Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal
1. Representación de ángulos.
Actividad: Arrastra los puntos A y B de la escena para obtener los distintos ángulos: El ángulo se nombra siendo O el vértice, y A y B dos puntos en sus lados. |
Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").
Operaciones con ángulos
Suma
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal
- Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s ___________________ 4 h 93 min 65 s
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:
4 h 94 min 5 s
De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5 h 34 min 5 s
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Actividad Interactiva: Suma de ángulos
1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Los grados, minutos y segundos superiores corresponden a los del primer sumando y los inferiores a los del segundo sumando. |
Resta
Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal
- En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s ___________________
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
2 h 60 min 60 s − 2 h 48 min 35 s ___________________ 0 h 11 min 25 s
Actividad Interactiva: Resta de ángulos
1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
Multiplicación por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal
- Multiplica 18º 26' 35" por 3.
18º 26' 35" x 3 _______________ 54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
Actividad Interactiva: Producto por un número en el sistema sexagesimal
1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
División por un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Actividad Interactiva: División por un número en el sistema sexagesimal
1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Sil pulsas en "pasos" iras viendo el resultado poco a poco. |
Relaciones entre ángulos
Ángulos complementarios y suplementarios
- Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
- Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano).
Actividad Interactiva: Ángulos complementarios y suplementarios
1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.
Actividad: Calcula los ángulos complementario y suplementario de los siguientes:
Realízalo en tu cuaderno y comprueba luego el resultado en las escenas siguientes: |
Propiedades
Propiedades: Relaciones entre ángulos
- Dos ángulos opuestos por el vértice (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
- Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
- Dos ángulos con lados perpendiculares son:
- Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
- Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
En el dibujo de la derecha, el ángulo es interno y los ángulos y son sus correspondientes ángulos externos. |
Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).
En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.
Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Los ángulos de un triángulo miden , y . Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un cuadrilátero
Propiedad
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
En la siguiente escena de Geogebra.
En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.
Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.
Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.
Los ángulos de un cuadrilátero miden , , y . Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un polígono de n lados
Propiedades
- La suma de los ángulos interiores de un polígono de lados es igual a .
- Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide .
- Cada ángulo exterior mide .
- Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.
- Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:
- Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
- Ejemplos de aplicación.
- Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.
Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.
Suma de los ángulos interiores de un polígono.
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
- Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.
Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.
¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.
Ángulo exterior de un polígono regular