Triángulos

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Tabla de contenidos

1 Triángulo
2 Clasificación de los triángulos
3 Construcción de triángulos
4 Rectas y puntos notables en un triángulo
5 Triángulos rectángulos
6 Ejercicios
- 6.1 Ejercicios de autoevaluación

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos.

Nomenclatura:

En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: $A \,\ B,\ C$ .
Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", para nombrar el ángulo: $\hat A, \ \hat B, \ \hat C$ , aunque también son usuales las letras griegas: $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ .
El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: $a,\ b,\ c$ ; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: $BC,\ AC,\ AB$ , las de los vértices contenidos en ese lado.

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

Sus tres ángulos suman 180º.
La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.

Demostración:

1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.

2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.

3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.

Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:

a) Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.

b) Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.

Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.

Clasificación de los triángulos

Según sus lados:

Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.

Según sus ángulos:

Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos

Clasificación de los triángulos (9´07") Sinopsis:

Clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Actividad Interactiva: Clasificación de los triángulos Descripción:

Contesta en tu cuaderno:

a) Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, ¿también lo es el tercero?

b) Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles.

c) ¿Puede ser un triángulo rectángulo y equilátero a la vez?.

d) Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 25º. ¿Cuánto mide el otro?

En la siguiente escena, mueve los vértices para cambiar el valor de los ángulos y comprueba los resultados que has obtenido.

Construcción de triángulos

Construcción de un triángulo

Para construir un triángulo se debe dar una de las siguientes tres situaciones:

a) Conocer tres lados.

b) Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

c) Conocer un lado y sus dos ángulos contiguos.

Demostración:

A continuación podrás ver el procedimiento para su construcción en cada caso:

a) Construcción de un triángulo conociendo los tres lados.

El proceso de construcción se muestra en la figura:

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado.
El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.

b) Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

El proceso de construcción se muestra en la figura:

Se representa uno de los segmentos.
Se traza el ángulo que forman los lados.
Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.

c) Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.

El proceso de construcción se muestra en la figura:

La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

Se construye el lado conocido.
Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.

Rectas y puntos notables en un triángulo

Medianas y baricentro

La mediana de un triángulo es una recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

Baricentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su baricentro y sus medianas.

Alturas y ortocentro

La altura de un triángulo es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro (O).

Ortocentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su ortocentro y sus alturas.

Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.

Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).

Circuncentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su circuncentro y sus mediatrices.

Bisectrices e incentro

Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

Incentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su incentro y sus bisectrices.

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo

Recta de Euler Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver la recta de Euler.

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. El mayor de los lados, opuesto al ángulo recto, se le llama hipotenusa. A los otros dos, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

Increibles triángulos (3´06") Sinopsis:

Una breve explicación sobre lo que sucede con los ángulos internos de los triángulos.

Actividad Interactiva: Triángulo rectángulo

1. Construcción de un triángulo rectángulo usando una circunferencia.

Actividad:

La siguiente escena muestra como construir un triángulo rectángulo. Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro coincida con la hipotenusa.

Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.