Semejanza de triángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Triángulos semejantes
2 Teorema de Tales
- 2.1 Triángulos en la posición de Tales
- 2.2 Relación entre las áreas de figuras semejantes
3 Ejercicios propuestos

(Pág. 186)

Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos, $ABC\;$ y $A'B'C'\;$ , son semejantes, y lo notaremos $ABC \sim A'B'C'\;$ , si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:

$\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'$

2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:

$\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r$

Al valor $r\;\!$ se le llama razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Triángulos semejantes

Tutorial (2'13") Sinopsis:

Definición de triángulos semejantes.

Ejemplo (5'09") Sinopsis:

Ejemplo de semejanza de triángulos.

Teorema de Tales

Primer teorema de Tales

Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

$\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}$

Demostración:

Demostración (13´21") Sinopsis:

Demostración del primer teorema de Tales.

Ejemplos: Teorema de Tales

Ejemplo 1 (1'39") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (2'25") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (1'38") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3'02") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (4'00") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Teorema de Tales Descripción:

En esta escena podrás comprobar el primer teorema de Tales.

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

Corolario

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Teorema de Tales. Triángulos en la posición de Tales

Tutorial 1 (7´18") Sinopsis:

Teorema de Tales. Ejemplos.

Tutorial 2 (23´57") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el teorema de Tales y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplican dichas propiedades.

00:00 a 04:15: Repaso teórico de semejanza de triángulos.
04:15 a 06:48: Teorema de Tales (I), triángulos semejantes.
06:48 a 16:52: Ejercicios del Teorema de Tales (I).
16:52 a 18:15: Teorema de Tales (II), segmentos semejantes.
21:30 a Fin: Ejercicios del Teorema de Tales (II).

Ejercicio 1 (3'28") Sinopsis:

División de un segmento en partes proporcionales.

Ejercicio 2 (2'43") Sinopsis:

Dibujo y cálculo del 4º proporcional a tres segmentos dados.

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Cálculo y dibujo del 3º proporcional a dos segmentos dados.

Ejercicio 4 (2´29") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Tales.

Ejercicio 5 (7´19") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Thales.

Teorema de Tales (otro forma de enunciarlo)

Tutorial (3´23") Sinopsis:

Otra forma equivalente de enunciar el teorema de Tales utilizando la semejanza de triángulos: Dos triángulos encajados (en la posición de Tales) son semejantes y en consecuencia sus lados son proporcionales.

Ejemplo 1 (1´14") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (3´30") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (3´24") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3´22") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (2´10") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (3´07") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.