Función inversa o recíproca (1ºBach)

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Función inversa o recíproca

Si $f\;$ es una función que lleva elementos de $X\;$ en elementos de $Y\;$ , en ciertas condiciones será posible definir la aplicación $f^{-1}\;$ que realice el camino de vuelta de $Y\;$ a $X\;$ . En ese caso diremos que $f^{-1}\;$ es la función inversa o recíproca de $f\;$ . Formalmente:

Sea $f\;$ una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto $X\;$ y cuya imagen sea el conjunto $Y\;$ . Entonces, la función recíproca o inversa de $f\;$ , denotada $f^{-1}\;$ , es la función de dominio $Y\;$ e imagen $X\;$ definida por la siguiente regla:

$f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x \,\!$

Propiedades

Sea $f \colon X \rightarrow Y$ una función y $f^{-1}\;$ su inversa:

Las gráficas de $f\;$ y $f^{-1}\;$ son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .
La función $f^{-1}\;$ , al igual que $f\;$ , es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por $f\;$ y que cumple:

a) $f^{-1} \circ f = I_X$

b) $f \circ f^{-1}=I_Y$

donde $I_X\;$ e $I_Y\;$ son las funciones identidad en $X\;$ e $Y\;$ respectivamente.

Demostración:

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

Actividad Interactiva: Función inversa

Actividad 1. Representación gráfica de una función $f(x)\;$ y de su inversa $f^{-1}(x)\;$ .

Actividad:

En esta escena tienes la gráfica de la función $f(x) = x^3\;$ (en verde) y la de $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ (en amarillo). Observa que son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, la recta $y=x\;$ (en rojo).

Click aquí si no se ve bien la escena

Prueba a cambiar también la función $f(x)=x^3\;$ por otras funciones, por ejemplo, $f(x)=x^2\;$ . ¿Quien sería su función inversa?. ¿Que ocurre?. Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser inyectiva.

No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2\;$ :

Solución:

Como la función $f(x)=x^2\;$ no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y alos que si podamos calcular su inversa:

$f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}$