Conjuntos

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Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Definición y notación

Ejemplo

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Si para los números naturales se considera la propiedad de "ser un número natural menor que 5", entonces, el conjunto de los números naturales menores que 5 sería:

• Por extensión:
• Por comprensión: ó

(En la segunda expresión la barra oblicua "/" significa «tal que». En lugar de la barra oblicua se utiliza también la barra vertical " | " o los dos puntos ":")

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Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito.

Igualdad de conjuntos

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Esta propiedad tiene varias consecuencias.

Consecuencias del axioma de extensionalidad

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• Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, por extensión o por comprensión, y ser el mismo conjunto.
• El orden en el que se listan los elementos no se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos.
• Un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Si en la lista aparece un elemento repetido es como si sólo apareciese una vez.

Ejemplo

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Repetir elementos o cambiar el orden no define un conjunto nuevo:

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Conjunto vacío

Plantilla:AP El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por Plantilla:Math o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Subconjuntos

Plantilla:AP [[Archivo:Subset-2.svg|thumb|280px|Subconjunto. Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math (en particular un subconjunto propio).]] Un subconjunto Plantilla:Math de un conjunto Plantilla:Math, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de Plantilla:Math (o quizá todos): Plantilla:Definición Cuando Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math, se denota como Plantilla:Math y se dice que «Plantilla:Math está contenido en Plantilla:Math». También puede escribirse Plantilla:Math, y decirse que Plantilla:Math es un superconjunto de Plantilla:Math y también «Plantilla:Math contiene a Plantilla:Math» o «Plantilla:Math incluye a Plantilla:Math».

Todo conjunto Plantilla:Math es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de Plantilla:Math es a su vez un elemento de Plantilla:Math». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: Plantilla:Math es un subconjunto propio de Plantilla:Math si es un subconjunto de Plantilla:Math pero no es igual a Plantilla:Math. Se denota como Plantilla:Math, es decir: Plantilla:Math pero Plantilla:Math (y equivalentemente, para un superconjunto propio, Plantilla:Math).<ref group="n">También se utiliza la notación Plantilla:Math y Plantilla:Math, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, Plantilla:Math y Plantilla:Math; o subconjunto propio, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Véase Subconjunto.</ref>

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

Plantilla:Math}

Plantilla:Math}

Conjuntos disjuntos

Plantilla:Ap Dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.