Números racionales: Definición

De Wikipedia

Revisión de fecha 10:58 5 sep 2016; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Menú:

Enlaces internos	Para repasar	Para ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio	Fracciones I Fracciones II Fracciones III Fracciones IV	Fracciones	WIRIS Geogebra Calculadora

Tabla de contenidos

1 Fracciones y números racionales
2 Fracciones propias e impropias
- 2.1 Fracción en forma mixta
3 Representación de fracciones en la recta numérica
4 Fracciones equivalentes
5 Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles
6 Orden en el conjunto de los racionales
- 6.1 Caso 1: Las fracciones tienen numeradores o denominadores iguales
- 6.2 Caso 2: Las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos
7 Ejercicios

Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

Una fracción es una expresión de la forma $\frac{a}{b}\;$ , o bien, $a/b\;$ , donde $a\;$ y $b\;$ son números enteros, siendo $b \ne 0 \;$ .

Al número $a\;$ lo llamaremos numerador y al número $b\;$ , denominador.

Observación:

Una fracción se puede interpretar como una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:

El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.

El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

Observación:

Esta definición nos da otra forma de interpretar a una fracción, ya que nos permite verla como una "división indicada" en las que el dividendo es el numerador y el cociente el denominador.

Fracciones

Tutorial 1 (19'26") Sinopsis:

Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.

00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.

Tutorial 2 (13'06") Sinopsis:

Definición de fracción.
Fracciones equivalentes.
Simplificación de fracciones. Fracciones irreducibles.

Tutorial 3 (9'39") Sinopsis:

Clasificación de las fracciones:

Fracciones propias e impropias.
Fracciones ordinarias y decimales.
Fracciones homogeneas y heterogeneas.
Fracciones irreducibles y reducibles.

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}$

Actividad: Números racionales

a) Representa el número 7/9 en forma de diagrama de tarta.

b) Representa el número 22/6 en forma de diagrama de tarta.

c) ¿Es -5 un número racional?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) pie chart 7/9

b) pie chart 22/6

c) is -5 a rational number?

Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias

Separa las fracciones propias de las impropias.

Actividad:

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante, podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.

Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.
Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.
Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.

Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Fracción en forma mixta

Una fracción se dice que está en forma mixta si está expreada com suma de un entero y una fracción propia.

Proposición: Expresar una fración impropia en forma mixta

Toda fracción impropia se puede escribir en forma mixta:

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

donde $c\;\!$ es el cociente y $r\;\!$ es el resto de la división de $D\;\!$ entre $d\;\!$ .

Demostración:

Basta aplicar el algoritmo de la división:

$D=d \cdot c + r$

y, a continuación, dividir todos los términos por $d\;\!$

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

Ejemplo: Expresar fracciones impropias en forma mixta

Expresa la frácción impropia $\cfrac{35}{8}$ , en forma mixta.

Solución:

Dividimos 35 entre 8: $35=4 \cdot 8 + 3$

El dividendo $D=35\;\!$ , el divisor $d=8\;\!$ , el cociente $c=4\;\!$ y el resto $r=3\;\!$ .

Aplicando la proposición anterior:

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

y sustituyendo cada letra por su valor:

$\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}$

Calculadora: Fracciones impropias

Para expresar una fracción impropia en forma mixta usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {7}{3}=2+\cfrac{1}{3}$

Procedimiento: $7\;\!$ $3\;\!$ (Para obtener la expresión decimal pulsaremos y para volver a forma fraccionaria usaremos la misma tecla)

Solución: $2 \lnot 1 \lnot 3 \ (= 2.3333)\;\!$

Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto

a) Expresa en forma de número mixto: $\cfrac{66}{8}.$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) mixed fraction 66/8

Representación de fracciones en la recta numérica

Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica

Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:

$\cfrac {3}{5}\, , \ \cfrac {7}{2}\, , \ -\cfrac {8}{3}\, , \ -\cfrac {4}{7}\, , \ \cfrac {1}{10}\, , \ \cfrac {14}{4}$

Actividad:

Compruéba las soluciones en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Representación de fracciones en la recta numérica

a) Representa los números 15/6, -2/3, 8/7 y 22/6 en la recta numérica.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) number line {15/6, -2/3, 8/7, 22/6}

Fracciones equivalentes

Plantilla:Fracciones equivalentes

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes

Actividad 1: Busca una fracción equivalente a la dada.

Actividad:

En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 2: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).

Actividad:

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados.

Multiplicamos sus términos en aspa. El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores. Después, pulsa sobre el triángulo azul para ver paso a paso la comprobación.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 3: Junta las fracciones equivalentes.

Actividad:

Cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba. Colócala junto a ella.

Para ello puedes buscar la fracción irreducible de cada una, o comprobar los productos cruzados de ambas.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Plantilla:Wolfran fracciones equivalentes

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.

Procedimiento: Simplificación

Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 0 y 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.

Ejemplo:

Simplifica $\cfrac{24}{30}$ :

Solución:

Paso a paso: Dividimos por 2 y luego por 3

$\cfrac{24}{30} = \cfrac{12}{15} = \cfrac{4}{5}$

En un solo paso: Calculamos el m.c.d.(24,30) = 6, y dividimos directamente por 6:

$\cfrac{24}{30} = \cfrac{4}{5}$

Simplificación de fracciones

Tutorial (8'54") Sinopsis:

Simplificación de fracciones (3 métodos). Fracción irreducible. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'15") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{16}{32}$ b) $\cfrac{12}{18}$

Ejercicio 2 (4'25") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{36}{54}$ b) $\cfrac{72}{60}$

Ejercicio 3 (4'00") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{35}{15}$ b) $\cfrac{20}{130}$

Ejercicio 4 (4'35") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{60}{180}$ b) $\cfrac{24000}{540000}$

Ejercicio 5 (6'38") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{84}{56}$ b) $\cfrac{441}{1323}$

Ejercicio 6 (3'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{210}{2100}$ b) $\cfrac{700}{1050}$

Ejercicio 7 (1'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{15}{60}$

Ejercicio 8 (3'18") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{100}{200}\;$ .

Ejercicio 9 (3'39") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{126}{180}\;$ .

Ejercicio 10 (3'45") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{273}{546}\;$ .

Ejercicio 11 (3'29") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{45}{90}\;$ .

Ejercicio 12 (3'05") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{30}{150}\;$ .

Ejercicio 13 (3'39") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{72}{120}\;$ .

Ejercicio 14 (4'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{360}{540}\;$ .

Ejercicio 15 (4'11") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{220}{330}\;$ .

Ejercicio 16 (3'10") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{24}{36}\;$ .

Ejercicio 17 (4'27") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{240}{360}\;$ .

Ejercicio 18 (3'02") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{180}{120}\;$ .

Ejercicio 19 (2'43") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{72}{48}\;$ .

Ejercicio 20 (2'32") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{56}{90}\;$ .

Ejercicio 21 (2'40") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{84}{124}\;$ .

Ejercicio 22 (3'40") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{540}{900}\;$ .

Ejercicio 23 (2'30") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{36}{27}\;$ .

Ejercicio 24 (3'29") Sinopsis:

Halla la fracción irreducible de: $\cfrac{400}{600}\;$ .

Simplificación de fracciones

Actividad Descripción:

Actividades en las que deberás simplificar fracciones con o sin ayuda.
Actividad en la que debes emparejar cada fracción con su irreducible.

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividad en las que deberás encontrar la fracción irreducible.

Autoevaluación 2 Descripción:

Actividades de nivel variable en las que deberás simplificar fracciones.

Autoevaluación 3 Descripción:

Simplifica fracciones.

Simplificación de fracciones

Actividad: Simplicar fracciones

a) Simplifica $\cfrac{140}{26}.$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) simplify 140/26

La simplificación de fracciones me proporciona un método para saber si dos fracciones son equivalentes.

Procedimiento

Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las dos fracciones son equivalentes.

Ejemplo (5'07") Sinopsis:

Determina si $\cfrac{30}{45}$ y No se pudo entender (función desconocida\cfrc): \cfrc{54}{81}

son fracciones equivalentes.

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones

Actividad 1: Simplifica las fracciones.

Actividad:

Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo número racional.

Por tanto, para expresar un mismo valor nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños. A esa fracción se la llama fracción irreducible porque ya no se la puede simplificar más. Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente.

Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible.

Simplifica (con ayuda):

En esta escena aparece aleatoriamente una fracción, además se indican los divisores comunes del numerador y del denominador.

Abajo debes marcar el número por el que dividirías al numerador y denominador para simplificar esa fracción.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Simplifica (sin ayuda):

Esta actividad es semejante a la anterior, pero en ésta no se da ayuda. Busca un número por el que puedes simplificar esta fracción, márcalo abajo y pulsa intro. Te indicará si con ello has llagado a la fracción irreducible o si todavía puedes seguir simplificando. En ese caso marca otro número. Tienes tres intentos para llegar a la fracción irreducible, pero no puedes rectificar, por eso no utilices los triángulos para cambiar los números marcados.

Si la primera fracción es ya irreducible, marca el 1.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

Actividad:

Nivel 1:

Las fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba. Colócalas juntas.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Nivel 2:

Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta dos cifras.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Nivel 3:

Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta tres cifras.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad: Simplicar fracciones

a) Simplifica $\cfrac{140}{26}.$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) simplify 140/26

Orden en el conjunto de los racionales

Una forma de comparar fracciones consistía en calcular su valor numérico, efectuando la división. A continuación vamos a ver otras formas distintas de hacerlo. Distinguiremos los siguientes casos:

Caso 1: Las fracciones tienen numeradores o denominadores iguales

En algunos casos es fácil comparar dos fracciones sin necesidad de hacer la división. Esto será posible si ambas fracciones tienen los numeradores o denominadores iguales.

Comparar fracciones con numeradores o denominadores iguales

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
De dos fracciones con el mismo numerador, es mayor la de menor denominador.

Comparar fracciones con numeradores o denominadores iguales (10'35") Sinopsis:

Comparando fracciones con mismo denominador o mismo numerador.

Autoevaluación: Comparar fracciones con numeradores o denominadores iguales Descripción:

Compara fracciones con el mismo numerador o denominador.

Caso 2: Las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos

Veamos ahora un procedimiento para los casos en que no sean iguales ni los numeradores ni los denominadores. Lo que haremos será reducirlas a común denominador.

En la animación anterior, cuando los denominadores son distintos, no podemos comparar las piezas coloreadas de verde, pues son de tamaños distintos. Al cambiar los denominadores por 12, sí podemos hacer la comparación. Además, 12 no es un denominador cualquiera, es el mínimo común múltiplo de 3 y 4. Se podría usar cualquier otro múltiplo común, pero lo normal es usar el menor posible para no trabajar con números muy grandes.

Ordenar fracciones

Para ordenar fracciones con distinto denominador debemos primero reducirlas a común denominador.
Una vez reducidas a común denominador, será mayor la de mayor numerador.

Ejemplo: Ordenar fracciones

Ordena las siguientes fracciones: $\cfrac{4}{6} \, , \ \cfrac{3}{4} \, \ y \ \cfrac{1}{2}$

Solución:

Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

$m.c.m.(4, 6, 2)=12\;\!$ .

A continuación, las reducimos a común denominador:

$\cfrac{4}{6} = \cfrac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} =\cfrac{8}{12}$

$\cfrac{3}{4} = \cfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} =\cfrac{9}{12}$

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} =\cfrac{6}{12}$

Nótese que hemos multiplicado numerador y denominador por el resultado de dividir el m.c.m. , 12, por cada denominador.

Ordenamos las fracciones obtenidas, y a partir de ellas las fracciones de partida:

$\cfrac{9}{12} > \cfrac{8}{12} > \cfrac{6}{12} \ \rightarrow \ \cfrac{3}{4} > \cfrac{4}{6} > \cfrac{1}{2}$

Ordenar fracciones

Ordenación de fracciones (2 métodos) (10'35") Sinopsis:

Ordena las siguientes fracciones:

a) $\cfrac{5}{2} \, , \ \cfrac{4}{3} \, , \ \cfrac{7}{4}$

b) $-\cfrac{2}{3} \, , \ \cfrac{3}{4} \, , \ -\cfrac{3}{5} \, , \ \cfrac{1}{2}$

b) $\cfrac{5}{6} \, , \ \cfrac{3}{2} \, , \ -\cfrac{3}{4} \, , \ -\cfrac{7}{9}$

Ejercicio 1 (5'35") Sinopsis:

Comparación de fracciones.

Ejercicio 2 (6'43") Sinopsis:

Ordenar fracciones de forma ascendente. Atención al método usado para obtener el m.c.m.

Ejercicio 3 (7'33") Sinopsis:

Ordenar fracciones de forma descendente.

Ejercicio 4 (2'07") Sinopsis:

Compara $\cfrac{2}{3}$ y $\cfrac{4}{7}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 5 (1'40") Sinopsis:

Compara $\cfrac{3}{4}$ y $\cfrac{6}{7}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 6 (1'55") Sinopsis:

Compara $\cfrac{4}{5}$ y $\cfrac{8}{10}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 7 (4'03") Sinopsis:

Compara $-\cfrac{3}{2}$ y $-\cfrac{9}{7}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 8 (3'53") Sinopsis:

Compara $-\cfrac{2}{7}$ y $-\cfrac{3}{8}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 9 (1'56") Sinopsis:

Compara $-\cfrac{9}{6}$ y $-\cfrac{3}{2}$ mediante la comparación de los productos cruzados.

Ejercicio 10 (9'56") Sinopsis:

Compara las fracciones: $\cfrac{21}{8}$ y $\cfrac{6}{9}$ .

Ejercicio 11 (6'08") Sinopsis:

Ordena las fracciones: $\cfrac{7}{10}$ , $\cfrac{1}{3}$ y $\cfrac{5}{6}$ .

Ejercicio 12 (7'52") Sinopsis:

Ordena las fracciones: $\cfrac{4}{9}$ , $\cfrac{3}{4}$ , $\cfrac{4}{5}$ , $\cfrac{11}{12}$ y $\cfrac{13}{15}$ .

Ordenar fracciones

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se comparan fracciones reduciéndolas a común denominador, tanto si son positivas como negativas.

Actividad 2 Descripción:

Actividad en la que debes ordenas varias fracciones.

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividad en la deberás comparar fracciones.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ordenación y comparación de fracciones.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ordena fracciones.

Ordenar fracciones

Actividad: Ordenar fracciones

a) Ordena de menor a mayor las fracciones: $\cfrac {5}{12} \; , \ \cfrac{3}{6} \; , \ \cfrac{5}{8} \; , \ \cfrac{1}{3}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) sort {5/12,3/6,5/8,1/3}

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Ordenar fracciones

Ordena las fracciones:

$\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}$

Solución:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:

$m.c.m.(5, 4, 10)=20\;\!$ .

Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 20. Para ello dividimos 20 entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Las fracciones obtenidas son:

$\cfrac{3}{5}=\cfrac{12}{20}\ ,\quad\cfrac{2}{4}=\cfrac{10}{20}\ ,\quad\cfrac{7}{10}=\cfrac{14}{20}$