Números racionales: Operaciones

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Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Procedimiento: Suma de fracciones

Para sumar o restar fracciones:

Si las fracciones son homogéneas (mismo denominador), se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Si son heterogéneas (distinto denominador), primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Observación:

Si en una suma de fracciones alguno de los sumandos es un número entero, se le considerará como si fuera una fracción con denominador unidad.

Advertencia:

Cuando hagamos operaciones con fracciones, no sólo la suma y la resta, es posible que el resultado sea una fracción que se pueda simplificar. Es importante que te acostumbres a simplificar el resultado todo lo que sea posible. En la Fig.1, por ejemplo, el resultado que deberíamos dar es 3/4 en lugar de 6/8.

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

Calcula: $2+\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}$

Solución:

Solución:

Tenemos que calcular:

$\cfrac{2}{1}+\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}$

Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

$m.c.m.(1, 4, 6, 2)=12\;\!$

y reducimos las fracciones a común denominador:

$\cfrac{2}{1} + \cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}=\cfrac{24}{12} + \cfrac{9}{12} + \cfrac{8}{12} - \cfrac{6}{12}=$

Una vez que tenemos las fracciones homogéneas, sumamos o restamos los númeradores, dejando el mismo denominador:

$=\cfrac{24+9+8-6}{12}=\cfrac{35}{12}$

Finalmente simplificaríamos si se pudiese.

Suma y resta de fracciones

Tutorial 1 (9'22") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador.
Suma y resta de fracciones con el distinto denominador.
Ejemplos.

Tutorial 2 (12'34") Sinopsis:

Tutorial que explica la suma y resta con fracciones de igual denominador de distintos denominadores y con paréntesis.

Tutorial 3 (12'32") Sinopsis:

Suma de fracciones con el mismo o con distinto denominador.
Ejemplos.
Propiedades.

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador

Tutorial 1 (2'51") Sinopsis:

Suma de fracciones con el mismo denominador. Lo que en este video se explica es válido para la resta sin más que cambiar suma por resta.

Tutorial 2a: Suma (5'52") Sinopsis:

Suma de fracciones con el mismo denominador.

Tutorial 2b: Resta (3'21") Sinopsis:

Resta de fracciones con el mismo denominador.

Tutorial 3a: Suma (números mixtos) (1'28") Sinopsis:

Suma de fracciones mixtas con el mismo denominador.

Tutorial 3b: Resta (números mixtos) (3'29") Sinopsis:

Resta de fracciones mixtas con el mismo denominador.

Ejercicios 1 (7'32") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador:

a) $\cfrac{3}{5}+ \cfrac{1}{5}$ b) $\cfrac{2}{9}+ \cfrac{4}{9}$ c) $\cfrac{5}{12}+ \cfrac{11}{12}+\cfrac{2}{12}$ d) $\cfrac{13}{8}- \cfrac{7}{8}$ e) $\cfrac{23}{10}- \cfrac{9}{10}$

Ejercicios 2 (4'28") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador.

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Tutorial 1a: Suma (método gráfico) (5'39") Sinopsis:

Suma de fracciones usando el método gráfico.

Tutorial 1b: Resta (método gráfico) (6'07") Sinopsis:

Resta de fracciones usando el método gráfico.

Tutorial 2a: Suma (método m.c.m.) (7'28") Sinopsis:

Suma de fracciones usando el método del m.c.m.

Tutorial 2b: Resta (método m.c.m.) (5'16") Sinopsis:

Resta de fracciones usando el método del m.c.m.

Tutorial 3a: Suma de números mixtos (2'55") Sinopsis:

Suma de números mixtos usando el método del m.c.m.

Tutorial 3b: Resta de números mixtos (3'14") Sinopsis:

Resta de números mixtos usando el método del m.c.m.

Tutorial 4 (método del m.c.m.) (10'53") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones usando el método del m.c.m.

Tutorial 5 (método rápido) (2'51") Sinopsis:

Otro método para sumar o restar fracciones, fácil de recordar, que no requiere del m.c.m, pero que a veces precisa simplificar más al final. Lo que en este video se explica es válido para la resta sin más que cambiar suma por resta.

Ejercicio 1 (3'43") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador (método rápido)

Ejercicio 2 (7'26") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador (método del m.c.m.):

a) $\cfrac{1}{3}+ \cfrac{1}{6}$ b) $\cfrac{3}{4}- \cfrac{3}{5}$

Ejercicio 3 (2'00") Sinopsis:

Suma de fracciones con distinto denominador (método rápido):

a) $\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{5}$

b) $\cfrac{7}{3}+\cfrac{5}{4}$

Ejercicio 4 (1'51") Sinopsis:

Resta de fracciones con distinto denominador (método rápido):

a) $\cfrac{6}{5}-\cfrac{2}{3}$

b) $\cfrac{9}{2}-\cfrac{3}{5}$

Ejercicio 5 (11'01") Sinopsis:

Suma de fracciones con distinto denominador (método del m.c.m.):

a) $\cfrac{5}{6}+ \cfrac{2}{3}$ b) $\cfrac{7}{8}+ \cfrac{3}{10}$ c) $\cfrac{7}{12}+ \cfrac{5}{9}+\cfrac{11}{18}$

Ejercicio 6 (4'28") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador (método del m.c.m.):

$\cfrac{5}{6}+ \cfrac{13}{8}-\cfrac{5}{12}$

Ejercicio 7 (6'46") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador (método del m.c.m.):

$\cfrac{5}{4}- \cfrac{3}{8}+\cfrac{1}{3}$

Ejercicio 8 (3'25") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador:

a) $-\cfrac{4}{3}+\cfrac{3}{5}$

b) $-\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{5}{6}$

Ejercicio 9 (2'18") Sinopsis:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador (método rápido):

$\cfrac{9}{7}-\cfrac{1}{2}+\cfrac{2}{3}$

Ejercicio 10 (2'05") Sinopsis:

Suma y resta de cuatro fracciones con distinto denominador(método del m.c.m.):

$\cfrac{7}{3}+\cfrac{2}{5}-\cfrac{1}{6}-\cfrac{3}{2}$

Ejercicio 11 (0'48") Sinopsis:

Suma de un entero y una fracción:

$6+\cfrac{1}{7}$

Ejercicio 12 (0'43") Sinopsis:

Resta de un entero y una fracción.

$3-\cfrac{3}{7}$

Ejercicio 13 (2'56") Sinopsis:

Suma de números mixtos.

$3\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}+4\begin{matrix} \frac{2}{3} \end{matrix}$

Ejercicio 14 (2'40") Sinopsis:

Resta de números mixtos.

$3\begin{matrix} \frac{4}{5} \end{matrix}-2\begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$

Ejercicio 15 (11'55") Sinopsis:

Suma y resta de números mixtos.

$3\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}+2\begin{matrix} \frac{5}{6} \end{matrix}-1\begin{matrix} \frac{3}{8} \end{matrix}$

Ejercicio 16 (8'15") Sinopsis:

Calcula:

$2\begin{matrix} \frac{2}{3} \end{matrix}+8\begin{matrix} \frac{3}{4} \end{matrix}$

Ejercicio 17 (6'32") Sinopsis:

Calcula:

$17\begin{matrix} \frac{4}{9} \end{matrix}-12\begin{matrix} \frac{2}{3} \end{matrix}$

Problema (3'25") Sinopsis:

Si Fernando recoge 3/4 de kilo de verdura y David recoge 1/8 de kilo de verdura, calcula los kilos de verdura que han recogido entre los dos e indica aquél que ha recogido menos cantidad.

Actividad Interactiva: ''Suma y resta de fracciones

Actividad 1: Aprende a sumar y restar fracciones.

Actividad:

Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas.

Para sumar y restar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos:

Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una.
Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador.
Finalmente se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Si se puede se simplifica.

En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad 2: Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones.

Actividad:

Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.

Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad: Suma y resta de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{1}{4} + \cfrac{5}{6} + \cfrac{3}{8}$

b) $\cfrac{11}{15} - \cfrac{7}{12} + \cfrac{3}{20}$

c) $2-\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{6}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 1/4+5/6+3/8

b) 11/15-7/12+3/20

c) 2-1/2+1/3-1/6

Multiplicación de fracciones

Procedimiento: Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

$\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Observaciones:

Si en una multiplicación de fracciones alguno de los sumandos es un número entero, se le considerará como si fuera una fracción con denominador unidad.
La regla de los signos que utilizabamos para multiplicar números enteros sigue siendo válida con fracciones

Advertencia:

Es recomendable, al igual que con cualquier otra operación, simplificar el resultado final, sin embargo, la forma en que se realiza el producto de dos fracciones permite, en ocasiones, simplificar antes de realizar las multiplicaciones de los numeradores y denominadores. Así ahorraras tiempo no teniendo que simplificar posteriormente.

Ejemplo: Producto de fracciones

Calcula: $\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}$

Solución:

Multiplicamos numeradores y denominadores, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}=\cfrac{10\cdot4\cdot8}{6\cdot6\cdot5}=\cfrac{16}{9}$

Actividad Interactiva: ''Producto de fracciones

Actividad 1: Aprende a multiplicar fracciones.

Actividad:

Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente.

Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador. A continuación se simplifican.

No obstante, es conveniente simplificar antes de multiplicar.

En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad 2: Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones.

Actividad:

Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad: Multiplicación de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{2}{5} \cdot \cfrac{10}{12}$

b) $\cfrac{11}{14} \cdot \cfrac{21}{22} \cdot \cfrac{2}{3}$

c) $\cfrac{15}{28} \cdot \cfrac{21}{18}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 2/5*10/12

b) 11/14*21/22*2/3

c) 15/28*21/18

Inversa de una fracción

Dada una fracción $\cfrac {a}{b}\ ,\quad a,b \ne 0$ , su inversa es la fracción $\cfrac {b}{a}$ .

Por ejemplo, la inversa de $\cfrac {3}{5}$ es $\cfrac {5}{3}$ .

Actividad Interactiva: Inversa de una fracción

Actividad 1: Halla la fracción inversa de una fracción.

Actividad:

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.

La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa. La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.

Marca la fracción inversa, para ello debes marcar primero el numerador, pulsar intro, después el denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no admite rectificaciones, por eso no puedes utilizar los triángulos para variar los números marcados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

$\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Cociente de fracciones

Calcula: $\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}$

Solución:

Multiplicamos en cruz, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}=\cfrac{6 \cdot 15}{5 \cdot 4}= \cfrac{9}{2}$

Actividad Interactiva: Cociente de fracciones

Actividad 1: Aprende a dividir fracciones.

Actividad:

Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0.

Haz la división en tu cuaderno y luego comprueba el resultado, viendo el desarrollo paso a paso. Para ello pulsa la flecha azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad: División de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{12}{5} : \cfrac{6}{10}$

b) $\cfrac{21}{10} : \cfrac{15}{14}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (12/5)/(6/10)

b) (21/10)/(15/14)

La fracción como operador

Para calcular una fracción $\cfrac {a}{b}$ de una cantidad $C\;\!$ , procederemos multiplicando la fracción por la cantidad $C\;\!$ :

$P=\cfrac {a}{b} \cdot C$

Ejemplo: La fracción como operador

De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.

a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?

b) Calcula cuánto se lleva cada uno.

Solución:

a) Calculamos la fracción que se cada uno:

María recibe: $\cfrac{3}{5}$
Ramón recibe: $\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}=\cfrac{1}{5}$
Matilde recibe: $1-(\cfrac{3}{5}+\cfrac{1}{5})=1-\cfrac{4}{5}=\cfrac{1}{5}$

b) Calculamos cuántos euros se lleva cada uno:

María recibe: $\cfrac{3}{5} \cdot 27=\cfrac{3 \cdot 27}{5}=\cfrac{81}{5}$ millones de €
Ramón recibe: $\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}$ millones de €
Matilde recibe: $\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}$ millones de €

Ejercicios

Actividad: Operaciones combinadas con fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\left ( \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} \right ) - \left ( \cfrac{3}{4} - \cfrac{1}{6} \right )$ b) $1+\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14}$ c) $\left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (1/2+1/3)-(3/4-1/6)

b) 1+(7/6)*(-2/14)

c) (3/5-2/6)/(3/15)

Problemas: La fracción como operador

1. El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: $\cfrac{3}{4}$ de nitrógeno, $\cfrac{1}{5}$ de oxígeno, $\cfrac{3}{10000}$ de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 $m 3$ de aire.

Solución:

Nitrógeno = 750 l.; oxígeno = 200 l.; anhídrido carbónico = 0,3 l.; g. nobles = 49,7 l.

2. La sangre humana se compone de $\cfrac{9}{20}$ de corpúsculos (glóbulos rojos,glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de una persona constituye aproximadamente $\cfrac{1}{14}$ de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?

Solución:

$77\cdot \frac{1}{14}\cdot \frac{9}{20}= \frac{693}{280}= 2,475 \ kg$

3. Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los $\cfrac{7}{22}$ del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

Solución:

880 personas; ya que 1/22 del total son 40 personas

4. En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 $m 2$ y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?

Solución:

$720 \cdot 200 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}= 6000$

5. En un congreso internacional, $\cfrac{3}{8}$ de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?

Solución:

168 personas ya que 7/24 del total son 49 personas.

6. Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?

Solución:

Los tres a la vez llenan los 3/4 del depósito en una hora, luego tardan 1 h. 20 m.

7. La diferencia entre los $\cfrac{4}{5}$ y los $\cfrac{2}{3}$ de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

Solución:

8. Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos que uno mide los $\cfrac{4}{7}$ del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?

Solución:

160 m. y 280 m.

9. Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 $m 2$ a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?

Solución:

600

m 2

ya que 1/20 del huerto mide 30

m 2

10. Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos pagado los $\cfrac{5}{8}$ del precio total. Calcula el precio del apartamento.

Solución:

48000 €

Problemas: Fraciones

1. Los $\cfrac{4}{7}$ de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.

Solución:

2. En cierto país trabajan $\cfrac{2}{5}$ de la población. De los trabajadores, $\cfrac{1}{4}$ se dedica a la construcción, $\cfrac{3}{25}$ a la industria, $\cfrac{2}{5}$ al sector servicios, y el resto a la agricultura.