Números naturales

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Operaciones
3 Ejercicios y problemas
- 3.1 Ejercicios
- 3.2 Problemas

Definición

El conjunto de los números naturales es $\mathbb{N}=\left \lbrace 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ . Son infinitos y sirven para contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...) o para ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).

Podemos representarlos en una recta:

Operaciones

Suma y multiplicación

La suma (o adición) y la multiplicación (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son leyes de composición interna.

Resta y división

La resta (o substracción)y la división (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son leyes de composición externa.

Propiedades

La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:

$(a+b)+c=a+(b+c)\,\!$

$(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)$

Propiedad conmutativa:

$a+b=b+a\,\!$

$a \cdot b=b \cdot a$

Propiedad distributiva:

$a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c$

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión

16 x 3 - 24 x 2 + 4 x

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

$4x \cdot (4x^2-6x+1)$

División

La división puede verse como un reparto de un número de elementos (dividendo) en un número de partes iguales (divisor), que da como resultado el número de elementos que corresponden a cada parte (cociente) y un posible número de elementos sobrantes (resto). Si el resto es cero la división se llama exacta, si no, se llama entera.

Algoritmo de la división: En toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

$D=d \cdot c + r$

donde D es el dividendo, d el divisor, c el cociente y r el resto.

Potenciación

Una potencia de base a y exponente n consiste en multiplicar n veces la base a.

$a^n =a \cdot a \cdots a$

Propiedades:

$a^0=1\,\!$ $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$ $\cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\!$ $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Actividades Interactivas: Potencia de exponente natural

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad es la potenciación, seguida de la multiplicación y las división y, para terminar, la suma y la resta. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.

Actividad Interactiva: Jerarquía de las operaciones