Expresiones algebraicas (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Expresiones algebraicas
2 Tipos de expresiones algebraicas
3 Valor numérico de una expresión algebraica
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 84)

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, ...), que respeta las reglas del lenguaje algebraico.
Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, no tienen un valor fijo y se denominan variables. Los números se denominan constantes porque tienen un valor fijo.

Observación:

Se puede usar cualquier letra del alfabeto para expresar una variable, excepto la " $e$ " y la " $i$ ", porque están reservadas para unos números especiales. Las letras más habituales son x, y, z, a, b, c, ...
Las reglas que se mencionan en la definición son las mismas que ya teníamos en cuenta al trabajar únicamente con números y alguna otra que aparecerá más adelante. Entre ellas tenemos:

Dos símbolos de operación no pueden aparecer juntos sin estar separados por otro elemento (paréntesis, corchetes, raya de fracción...)
Cuando realizamos una operación combinada en varias etapas, cada una de ellas tiene que estar precedida del símbolo =, y los elementos que no se operan deben repetirse en la misma posición o en una equivalente, siempre respetando las propiedades de las operaciones.
Si el símbolo = está seguido por una raya de fracción, ésta debe aparecer a una altura intermedia entre las dos rayas del igual.
El número 1 puede omitirse cuando está multiplicando a otro número o cuando actúa como exponente.
El símbolo de la multiplicación puede omitirse cuando a continuación del mismo aparecen unos paréntesis, o cuando se indica el producto de dos variables (letras).
...

Ejemplos:

Son expresiones algebraicas: $3x^2+1 \ ; \ \cfrac{x}{3}-xy^2 \ ; \ \sqrt{3-x} \ ; \ \cfrac{1}{x} +y$

Expresiones algebraicas

Tutorial 1 (5'12") Sinopsis:

Expresiones algebraicas: definición y ejemplos.

Tutorial 2 (5'08") Sinopsis:

Expresiones algebraicas. Tipos de expresiones algebraicas: enteras y fraccionarias.

Ejercicio (3'38") Sinopsis:

Indica si las siguientes expresiones algebraicas son enteras o fraccionarias:

44) $\cfrac{2x+y}{x}\;$ ; 45) $3x+y\;$ ; 46) $5x^2+2\;$

47) $6x^3-1\;$ ; 48) $\cfrac{4x-1}{3}\;$ ; 49) $\cfrac{2x-3}{x}\;$

50) $\cfrac{1}{3} x-\cfrac{1}{3} y\;$

Expresiones algebraicas

¿Qués son las expresiones algebraicas? Descripción:

Ejemplos de expresiones algebraicas.

Encuentra la expresión algebraica adecuada (I) Descripción:

Actividad en la que deberás encontrar la expresión algebraica adecuada para cada situación.

Encuentra la expresión algebraica adecuada (II) Descripción:

Actividad en la que deberás encontrar la expresión algebraica adecuada para cada situación.

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. Nosotros nos vamos a centrar, de manera especial, en unas que llamaremos monomios y polinomios.

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un número (coeficiente), multiplicado por letras (variables) con exponentes naturales.
Polinomio: es la suma de varios monomios. Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...

Observación:

En general, cuando hablemos de polinomios, nos referiremos tanto a los monomios como a los polinomios. Es decir, un monomio lo veremos como un polinomio con un solo sumando.

Ejemplos:

Monomios: $3x^5 \, ,\quad \cfrac{3x}{5} \, , \quad \cfrac{4}{3} \, \pi r^3$

Polinomios:

$3x^5+2x\;\!$ (binomio)

$4ab-5b^2+ \cfrac{c}{5}$ (trinomio)

No son monomios, ni polinomios:

$x - \cfrac{1}{x}\;\!$ , porque la variable aparece dividiendo.

$\cfrac{3}{2}\,\sqrt{x}\;\!$ , porque la variable aparece dentro de una raíz.

Tipos de expresiones algebraicas

Términos algebraicos (3'45") Sinopsis:

Elementos que componen una término algebraico.

Tipos de expresiones algebraicas (5'30") Sinopsis:

Elementos que componen una expresión algebraica. Clasificación de las expresiones algebraicas.

Monomios, binomios, trinomios y polinomios (5'45") Sinopsis:

Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Ejemplos.

Tipos de expresiones algebraicas Descripción:

Actividad en la que deberás decir de qué tipo es la expresión algebraica dada.

Ejercicios resueltos:

Expresa algebraicamente:

a) El perímetro de un rectángulo, uno de cuyos lados es el triple del otro, es 60 cm.

b) Si gasto 3/5 de lo que tengo y, además, 90 €, me quedaré con la tercera parte de lo que tengo.

Solución:

Solución a)

Lado menor: $x\;$ (monomio)

Lado mayor: $3x\;$ (monomio)

Perímetro: $x+3x+x+3x\;$ (polinomio)

$x+3x+x+3x = 60 \ \rightarrow \ 8x=60$ (ecuación)

Solución b)

Dinero que tengo: $x\;$ (monomio)

Gasto: $\cfrac{3}{5}\, x+90$ (polinomio)

Me queda: $x- \left ( \cfrac{3}{5}\, x+90 \right )$ (polinomio)

$x- \left ( \cfrac{3}{5}\, x+90 \right )=\cfrac{1}{3}\, x$ (ecuación)

Valor numérico de una expresión algebraica

El lenguaje algebraico sirve para pasar de casos particulares a casos generales, sin embargo, en muchas ocasiones haremos el proceso inverso, pasaremos de una expresión general a un valor concreto.

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras (variables) por números y se realizan las operaciones correspondientes, se obtiene un número al que llamaremos el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras asignados.

Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica

Halla el valor numérico:

a) $3x^5+2x\;\!$ para $x=2\;\!$

b) $2xy-3y^2+5\;$ para $x=1\;$ e $y=2\;$ .

Solución:

a) El valor numérico es: $3 \cdot 2^5+2 \cdot 2=100$

b) El valor numérico es: $2 \cdot 1 \cdot 2 -3 \cdot 2^2 + 5=-3$

Valor numérico de una expresión algebraica

Tutorial 1 (19'18") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas de una o más variables, así como las tablas de valores.

Tutorial 2 (4'02") Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que es el valor numérico de una expresión algebraica y cómo se calcula.

Ejercicio 1 (1'52") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $4x+2\;$ para $x=\cfrac{1}{3}\;$ .

Ejercicio 2 (1'15") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{x}{2}+4\;$ para $x=-2\;$ .

Ejercicio 3 (1'15") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $3x+6\;$ para $x=-1\;$ .

Ejercicio 4 (1'32") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{9-2n}{2}\;$ para $n=3\;$ .

Ejercicio 5 (2'03") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{2n^2}{6n}\;$ para $n=5\;$ .

Ejercicio 6 (1'22") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $23n+8n\;$ para $n=3\;$ .

Ejercicio 7 (1'11") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $-5x+1\;$ para $x=-7\;$ .

Ejercicio 8 (8'11") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores indicados de las variables:

51) $3x-5 \ para \ x=2\;$

52) $5x-8 \ para \ x=-1\;$

53) $4x+3 \ para \ x=6\;$

54) $x^2+1 \ para \ x=-1\;$

55) $x^3-1 \ para \ x=1\;$

56) $5x-2 \ para \ x=-4\;$

57) $\cfrac{2x+3}{x} \ para \ x=2\;$

58) $\cfrac{x^2-1}{x+1} \ para \ x=-2\;$

59) $\cfrac{2x+3}{x-2} \ para \ x=3\;$

Ejercicio 9 (2'03") Sinopsis:

Un hospital local está realizando una rifa para recolectar fondos. El coste individual para participar en la rifa está dado por la expresión $5t + 3\;$ , donde $t\;$ representa el número de boletos que la persona adquiere. Evalúa la expresión para $t = 1\;$ , $t = 8\;$ y $t = 10\;$ .

Ejercicio 10 (2'46") Sinopsis:

a) Evalúa la expresión $a + b\;$ para $a = 7\;$ y $b = 2\;$ .

b) Evalúa la expresión $xy-y+3x\;$ para $x = 3\;$ e $y = 2\;$ .

Ejercicio 11 (4'05") Sinopsis:

a) Evalúa la expresión $7j + 5 - 8k\;$ para $j = 0.5\;$ y $k = 0.25\;$ .

b) Evalúa la expresión $0.1m + 8 - 12n\;$ para $m = 30\;$ y $n = \cfrac{1}{4}\;$ .

Ejercicio 12 (6'36") Sinopsis:

a) ¿Qué le ocurre a la expresión $100-x\;$ cuando la variable $x\;$ va disminuyendo?

b) ¿Qué le ocurre a la expresión $\cfrac{5}{x}+5\;$ cuando la variable $x\;$ va disminuyendo, pero manteniéndose positiva?

Ejercicio 13 (1'17") Sinopsis:

Expresa 25º Celsius (C) como una temperatura en grados Fahrenheit (F), usando la fórmula:

$F=\cfrac{9}{5}\,C+32\;$

Ejercicio 14 (3'26") Sinopsis:

El área de la superficie de un cubo es igual a la suma de las áreas de sus 6 caras. En consecuencia, vendrá dada por la fórmula $A=6x^2\;$ , siendo $x\;$ el valor de la arista del cubo.

Julia tiene dos recipientes de forma cúbica que quiere pintar. Uno tiene arista 2 y otro 1.5. Calcula el área total que quiere pintar.

Ejercicio 15 (2'44") Sinopsis:

Evalúa la expresión $5y^4-y^2\;$ cuando $y=3\;$ .

Valor numérico de una expresión algebraica

Actividad 1a Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

Actividad 1b Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

Actividad 2a Descripción:

Evaluar expresiones con una sola variable.

Actividad 2b Descripción:

Evaluar expresiones con dos variables.

Actividad 2c Descripción:

Evaluar expresiones con dos variables: fracciones y decimales.

Actividad 2d Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Actividad 2e Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Actividad 2f Descripción:

Evaluar expresiones con variables: problemas verbales.

Autoevaluación 1a Descripción:

Evaluar expresiones con una sola variable.

Autoevaluación 1b Descripción:

Evaluar expresiones con múltiples variables.

Autoevaluación 1c Descripción:

Evaluar expresiones con múltiples variables: fracciones y decimales.

Autoevaluación 1d Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Autoevaluación 1e Descripción:

Evaluar expresiones con variables: problemas verbales.

Autoevaluación 1f Descripción:

Evaluar expresiones con potencias.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre el valor numérico de una expresión algebraica.

Valor numérico de una expresión algebraica

Actividad: Valor numérico de una expresión algebraica

Calcula el valor numérico del polinomio $x^3-xy-3\;\!$ en los casos:

a) $x=2 \, , \ y=0\;\!$

b) $x=-1 \, , \ y=1\;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^3-xy-3 where x=2, y=0

b) x^3-xy-3 where x=-1, y=1

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ordenación de fracciones

(Pág. 84)

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

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