Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

(Pág. 90)

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}

ejercicio

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) 4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2ax^3 \;\!
Solución:

a) 4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2

b) 6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios P(x)\; (dividendo) y Q(x)\; (divisor) de modo que el grado de P(x)\; sea mayor o igual que el grado de Q(x)\; y el grado de Q(x)\; sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios C(x)\; (cociente) y R(x)\; (resto) tales que:

P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

  • El grado de C(x)\; es igual a la diferencia entre los grados de P(x)\; y Q(x)\;, mientras que el grado de R(x)\; será, como máximo, un grado menor que Q(x)\;.
  • Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

ejercicio

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;
Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;
Solución:
\begin{matrix} ~~~3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x^{2} - 2 \, x - 1 \quad \\ ~~~\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}

video
División de polinomios
Tutorial 1 (6´42")     Sinopsis:

División de polinomios. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´32")     Sinopsis:

Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).

Tutorial 3 (17´13")     Sinopsis:

Cómo se hace la división de polinomios

Tutorial 4 (10´24")     Sinopsis:

División de polinomios

Ejercicio 1 (19'10")     Sinopsis:

Calcula:

a) (4x^3+2x^2-4x+3):(2x^2-x+1)\;

b) (3x^4-6x^3-2x+1):(3x^2-2)\;

Ejercicio 2 (10'30")     Sinopsis:

Calcula: (6x^5-5x^3-35x-14x^2+23x^4+20):(3x^3-5+x^2)\;

Ejercicio 3 (9'45")     Sinopsis:

Calcula: (4x^4+13x^3+13x^2+8x-5):(4x^2+x-2)\;

Ejercicio 4 (12'15")     Sinopsis:

Calcula: (8x^4-5x^2+9x+2x^3-7):(2x^2+x-3)\;

Ejercicio 5 (12´09")     Sinopsis:

Calcula:

a) (7x^3-5x^2+3x^5+8x^4+2x-5):(2x^2-1+x^3)\;

b) (5x^4+6x^3+8x^2+2x-1):(2x^5+x^3)\;

Ejercicio 6 (9'59")     Sinopsis:

Calcula: (37u^3-15u-8u^2-20u^5):(4u^2-5)\;

Ejercicio 7 (8´45")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios entre binomios:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5-4x^3+x+1):(x^2-1)\;
1c) (x^6-1):(x^2-1)\;
Ejercicio 8 (13'34")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

2a) (x^2+2x+1):x\;
2b) (x^3+2x^2+4x+2):x^2\;
2c) (4x^6+2x^5-2x^4):2x^2\;
2d) (x^5+5x^4+2x^3+13x^2+13x+2):(x^3+3x-2)\;
2e) (3x^4+x^3+5x^2+x-5):(x^2-3x+1)\;
Ejercicio 9 (13'26")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3a) (x^6+5x^4+3x^2-2x):(x^2-x+3)\;
3b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
Ejercicio 10 (12'27")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3c) (x^6+2x^5-3x^4+6x-8):(x-3)\;
3d) (x^3-+x^2+x-1):(x^2-1)\;
Ejercicio 11 (10'46")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

4a) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
4b) (2x^4+3x^2+6x-7):(x-1)\;
4c) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
4d) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 12 (9'47")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

5a) (2x^6+10x^4-3x^3+2x^2-6):6x^4\;
5b) (\cfrac{6}{5}x^6+\cfrac{4}{3}x^4+2x^2-\cfrac{6}{3}):6x^4\;
5c) (3x^4+10x^3-8x^2+6x):x^2\;
5d) (\cfrac{1}{2}x^3+6x^2-3x+8):\cfrac{1}{3}x\;
Ejercicio 13 (10'20")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

6a) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
6b) (8x^5-4x^4-3x^2+6x-1):(x^3+3x-1)\;
6c) (\cfrac{4}{3}x^3+\cfrac{2}{5}x^2-6x+7):(x^2-5)\;
6d) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
Ejercicio 14 (10'27")     Sinopsis:

Indica qué divisiones de polinomios son exactas:

7a) (x^3+5x-1):(x+3)\;
7b) (x^4-1):(x+1)\;
7c) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
7d) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 15 (14'53")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

8a) (x^3-6x^2-5x-88):(x-8)\;
8b) (3x^5+7x^4-3x^2+5):(x-6)\;
9a) (x^5-32):(x+2)\;
9b) (x^5-32):(x-2)\;
9c) (x^4-16):(x+2)\;
Ejercicio 16 (12'41")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

9d) (x^3-8):(x-2)\;
9e) (x^3-8):(x+2)\;
9f) (x^3+8):(x-2)\;
9g) (x^3+8):(x+2)\;
9h) (x^3-27):(x-3)\;
9i) (x^3-27):(x+3)\;
9j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicios 17 (7´08")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

a) (3x^3+x^2-4x+7):(x^2-5x+3)\;
b) (x^4+5x^3-2x+1):(3x^2+4)\;

video
Método de Horner
Tutorial (12´03)     Sinopsis:

Método de Horner para la división de polinomios

Ejercicio 1 (8´18)     Sinopsis:

Calcula: (5x^3+2x^2+1):(x^2+2+2x)\;

Ejercicio 2 (9´27)     Sinopsis:

Halla el resto de la división:

5x^4 :(x^2-2x-3)\;
Ejercicio 3 (9´01)     Sinopsis:

Halla el resto de la división

(8x^3+4x^2-6mx+15):(2x-1)\;

sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.

Autoevaluación: División de polinomios     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.

wolfram
División de polinomios
wolfram

Actividad: División de polinomios

Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

    x^3-4x^2+x+6):(x-1)\;
Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1)

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x)\; y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r\; en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, a_n\;, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes b_{n-1}\;:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}


Los valores b_i\; son los coeficientes del polinomio cociente C(x)\;, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo P(x)\;. El resto será s\;.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

  • Cociente de la división: C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!
  • Resto: r=67\,\!

Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!

video
Regla de Ruffini
Tutorial 1 (5´53")     Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48")     Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16")     Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38")     Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26")     Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14")     Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39")     Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07)     Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57")     Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50")     Sinopsis:

Divide 4x^4-5x^2-3x+11\; entre x-2\;.

Ejercicio 6 (12´03)     Sinopsis:

a) Divide -ax^3+a^3x-1\; entre x-a\;

b) Divide 6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\; entre x^{10}-7\;

Ejercicio 7 (14´17")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
1c) (x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;
1d) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
1e) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
1f) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 8 (13´24")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
1h) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
1i) (x^3+5x-1):(x+3)\;
1j) (x^4-1):(x+1)\;
1k) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
1l) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 9 (10´40")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) (x^5-32):(x+2)\;
2b) (x^5-32):(x-2)\;
2c) (x^4-16):(x+2)\;
2d) (x^3-8):(x-2)\;
2e) (x^3-8):(x+2)\;
Ejercicio 10 (9´14")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) (x^3+8):(x-2)\;
2g) (x^3+8):(x+2)\;
2h) (x^3-27):(x-3)\;
2i) (x^3-27):(x+3)\;
2j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicio 11 (4´13")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) (-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;
b) (x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;
c) (-x^3+5):(x+2)\;

Autoevaluación: Regla de Ruffini     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

Demostración:

Demostración:

En efecto, sea x=a\; una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Entonces, como P(a)=0\;, tendremos que

P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0

de donde, despejando el termino independiente

-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a
Como el miembro de la derecha contiene al factor a\; en todos sus sumandos, es un múltiplo de a\;, entonces a_0\; también. Luego a\; divide al término independiente.

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini

Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini, seguiremos los siguientes pasos:

  • Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
  • Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
  • Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
  • Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
  • Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
  • El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=x^3-4x^2+x+6\!
Solución:
  • Los candidatos a raíces son los divisores (positivos y negativos) del término independiente. Como el término independiente es 6, los candidatos son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.

Empezaremos probando con el 1: 

   | 1  -4  1  6
   |                   
  1|     1 -3 -2
 --|---------------
   | 1  -3 -2 |4
              |____

Como el resto es distinto de cero, el 1 no es raíz. Pasamos probar con -1: 


   | 1  -4  1  6
   |                   
 -1|    -1  5 -6
 --|---------------
   | 1  -5  6 |0
              |____

Como el resto es cero, -1 es raíz y (x-(-1))=(x+1)\; es un factor:

P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)\,\!

Seguimos aplicando Ruffini para factorizar el polinomio de grado 2. Probamos con -1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz, pero resulta que no lo es. Probamos con el siguiente, 2: 

   | 1  -5   6
   |                   
  2|     2  -6
 --|-------------
   | 1   -3 |0
            |____

Como el resto es cero, 2 es raíz y (x-2)\; es un factor:

P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)= (x+1)(x-2)(x-3)\,\!
Con lo que queda factorizado el polinomio.

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Factorización de polinomios
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Actividad: Factorización de polinomios

Factoriza el siguiente polinomio:

    x^4+3x^2-4x\;
Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

factor x^4+3x^2-4x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios

(Pág. 91)

1, 2

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