Funciones lineales: Función de proporcionalidad directa

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Tabla de contenidos

1 Función de proporcionalidad directa
- 1.1 Función identidad
2 Pendiente de una recta
- 2.1 La pendiente y el crecimiento
- 2.2 Cálculo de la pendiente
3 Ejercicios

Función de proporcionalidad directa

Una función de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión analítica puede expresarse como:

$y=mx\;$

$x\;\!$ es la variable independiente.
$y\;\!$ es la variable dependiente.
$m\;\!$ una constante que se denomina constante de proporcionalidad o pendiente.

Representación gráfica

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
En consecuencia, para representarla sólo necesitamos un punto y el origen, los cuales uniremos mediante una línea recta. Para obtener dicho punto usaremos la ecuación.

Ejemplo: Función de proporcionalidad directa

Un grifo, con un caudal de 5 $d m 3$ por minuto, vierte agua en una piscina.

a) Haz una tabla de valores de la función que relaciona el tiempo con el volumen que se llena.

b) Halla la expresión analítica de la función.

c) Representa gráficamente la función.

Solución:

Solución:

La variable independiente es el tiempo transcurrido y la dependiente el volumen que ocupa el agua vertida en ese tiempo.

a) Tabla de valores:

tiempo (min)	0	1	2	3	4	5	6
Volumen $(d m 3)$	0	5	10	15	20	25	30

b) Expresión analítica: $V=5t\;$ (

V

d m 3

;

t

en minutos)

c) Representación gráfica: Como se trata de una función de proporcionalidad directa, su gráfica es una recta que pasa por el origen. Por tanto, solo tendremos que representar un punto y el origen, y unirlos mediante una línea recta.

Sólo se representan los valores $t \ge 0\,$ , ya que el tiempo empieza a contar a partir de cero.

Función de proporcionalidad directa

Tutorial (2´11") Sinopsis:

Función de proporcionalidad directa. Expresión analítica y gráfica.

Ejemplo 1a (2´11") Sinopsis:

Variable independiente y dependiente en una función de proporcionalidad directa dada por una ecuación y su correspondiente tabla.

Ejemplo 1b (1´01") Sinopsis:

Ejemplo de representación gráfica de una función de proporcionalidad directa dada por una ecuación y su correspondiente tabla.

Ejemplo 1c (2´02") Sinopsis:

Ejemplo sobre la obtención de la ecuación de una función de proporcionalidad directa a partir de su gráfica y de su correspondiente tabla.

Función de proporcionalidad directa Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con las gráficas de funciones de proporcionalidad directa y estudiar sus propiedades.

Función de proporcionalidad directa

Actividad 1 Descripción:

Definición de función de proporcionalidad directa. Ejemplos.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a representar funciones de proporcionalidad directa y a identificar su ecuación a partir de su gráfica.

Función identidad

Si $m=1\,$ , la función que se obtiene, $y=x\,$ , recibe el nombre de función identidad y es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Pendiente de una recta

La pendiente y el crecimiento

Propiedades

La pendiente, $m\,$ , describe el crecimiento de la función $y=mx\,$ :

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

La pendiente y el crecimiento Descripción:

En esta escena podrás ver como afecta el signo de la pendiente al crecimiento de la función.

Cálculo de la pendiente

Proposición

Consideremos una función lineal $y=mx+n\;$ y dos puntos $A(x_1,y_1)\;$ y $B(x_2,y_2)\;$ de la recta que la representa.

La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:

$m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Demostración:

Como $A(x_1,y_1)\;$ es un punto de la recta, verifica su ecuación: $y_1=mx_1+n\;$

Como $B(x_2,y_2)\;$ es otro punto de la recta, también verifica su ecuación: $y_2=mx_2+n\;$

Restando ambas expresiones:

$y_2-y_1=mx_2+n-(mx_1+n) \ \rightarrow \ y_2-y_1=mx_2-mx_1 \ \rightarrow \ y_2-y_1=m(x_2-x_1)$

y despejando m:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Cálculo de la pendiente de una función lineal

Tutorial 1 (16'07") Sinopsis:

En este vídeo se explica como se calcula la pendiente de una recta.
También se resolverá el siguiente problema: Los vértices de un triángulo son los puntos (2,-2), (-1,4) y (4,5). Halla la pendiente de cada uno de sus lados.

Tutorial 2a (7'34") Sinopsis:

Introducción a la pendiente de una recta.

Tutorial 2b (13'43") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la pendiente de una recta a partir de su gráfica.

Ejercicio 1 (7'13") Sinopsis:

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-3, 16).

Ejercicio 2 (4'41") Sinopsis:

Encuentra la pendiente de la recta dada en el video.

Ejercicio 3 (5'06") Sinopsis:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7,-1) y (-3,-1).

Ejercicio 4 (1'54") Sinopsis:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,7) y Q(-2,3).

Cálculo de la pendiente de una función lineal

Actividad 1 Descripción:

Pendiente de una recta.

Actividad 2 Descripción:

Escena en la que aprenderás a calcular la pendiente de una función lineal.

Actividad 3 Descripción:

Practica el cálculo de la pendiente de una función lineal a partir de dos puntos.

Autoevaluación 1 Descripción:

La pendiente a partir de dos puntos.

Autoevaluación 2 Descripción:

La pendiente a partir de una gráfica.

Ejercicios

Ejercicio: Función lineal

1. Un grifo, con un caudal de 5 $d m 3$ por minuto, vierte agua en una piscina.

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-volumen.

b) Halla la expresión analítica de la función.

c) Representa gráficamente la función.

Solución:

a) Tabla de valores:

tiempo (min)	0	1	2	3	4	5	6
Volumen $(d m 3)$	0	5	10	15	20	25	30

b) Expresión analítica: $V=5t\;$ (

V

d m 3

;

t

en minutos)

c) Representación gráfica: Como se trata de una función de proporcionalidad directa, su gráfica es una recta que pasa por el origen. Sólo tendremos que representar dos puntos y unirlos mediante una línea recta. Sólo se representan los valores $t \ge 0\,$ y que los valores negativos no pertenecen al dominio de esta función.

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Categorías: Matemáticas | Funciones

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