Ángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Ángulos
- 1.1 Tipos de ángulos
2 Ángulos en los polígonos
3 Ángulos en la circunferencia
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 184)

Ángulos

Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Definición de ángulo Descripción:

Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.

Ángulos

Tutorial 1 (3'58") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 2 (10'39") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 3 (9'29") Sinopsis:

Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular

Tipos de ángulos

Plantilla:Tipos de ángulos

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.

Tutorial (2'37") Sinopsis:

Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Problema (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:

En la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

Ángulos en el cuadrilátero

Ejercicio 1a (6'48") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 1b (5'23") Sinopsis:

Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 2 (1'51") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

Tutorial 2 (3´24") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

Tutorial 3 (6´13") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un polígono.

Tutorial 4 (9´02") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.

Tutorial 5 (5´38") Sinopsis:

Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.

Ejercicio (2´20") Sinopsis:

¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis:

Ángulo exterior de un polígono regular

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo $\widehat{AOB}$ y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central $\widehat{AOB}$ .

Ángulo central Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito $\widehat{BAC}$ .

Propiedades

Propiedades

Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Demostración:

Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:

Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.

La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.

Ángulo inscrito Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Otros ángulos

Ángulos en la circunferencia (ampliación) (8'21") Sinopsis:

Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.

Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.

Ejercicios: Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.