Porcentajes

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Tabla de contenidos

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1 Definición de porcentaje
2 Representación de los porcentajes
3 Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad
4 Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción
5 Aumentos y disminuciones porcentuales
6 Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final
7 Encadenamiento de variaciones porcentuales

Definición de porcentaje

Las fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente, porcentajes.

Por ejemplo:

$\frac{30}{100}=30%; \quad \frac{28}{100}=28%; \quad \frac{70}{100}=70%;\quad \frac{12}{100}=12%;$

Leemos: 30 por ciento; 28 por ciento; 70 por ciento; y 12 por ciento.

Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

Actividades Interactivas: Representación de porcentajes

Actividad 1. En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.

Actividad:[Mostrar]

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

$El \ n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Ejemplo: Cálculo de un porcentaje

Calcula el 16% de 2000.

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de pordentaje:

El 16% de 2000 $= \frac{16}{100} \cdot 2000=0,16 \cdot 2000=320$

Método 2: Mediante una regla de tres

  100% ----> 2000
   16% ---->   x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{16 \cdot 2000}{100}= 320$

Actividades Interactivas: Cálculo de porcentajes

Actividad 1. Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Calcula mentalmente.

Actividad:[Mostrar]

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de pordentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

   20% ----> 5 alumnos
  100% ----> x alumnos

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje de una proporción

En un grupo de 3ºESO de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados.? ¿Y los suspensos?

Solución:[Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales

Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad.

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

$Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \acute{I}ndice \ de \ Variaci \acute{o} n$

En aumentos porcentuales del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

$Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)$

En una disminución porcentual del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.

$Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)$

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual

a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Solución:[Mostrar]

Actividades Interactivas: Aumentos y disminuciones porcentuales

Actividad 1. Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?

b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?

c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?

d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?

e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuanto será al añadirle el 16% de IVA?

f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?

b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?

c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?

d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?

e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?

f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?

Actividad:[Mostrar]

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación.

$Cantidad \ Inicial = \cfrac{Cantidad \ Final}{\acute{I}ndice \ de \ Variaci \acute{o} n}$

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial

a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Solución:[Mostrar]

Encadenamiento de variaciones porcentuales

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento

Ejemplo: Encadenamiento porcentual

El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.

b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?

Solución:[Mostrar]

Problemas: Encadenamiento porcentual

1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?

Solución:[Mostrar]

2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?

Solución:[Mostrar]

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