Porcentajes

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Tabla de contenidos

Definición de porcentaje

Llamaremos porcentaje a toda fracción con denominador igual a 100. Esto es,

n% = \cfrac{n}{100}         (se lee "n\; por ciento")

Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de porcentajes


Actividad 1. En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

El \ n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de un porcentaje


Calcula el 16% de 2000.

ejercicio

Actividades Interactivas: Cálculo de porcentajes


Actividad 1. Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

Actividad 2. Calcula mentalmente.

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje


Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción

ejercicio

Procentaje correspondiente a una proporción


Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a\;\!, repecto a un total, C\;\!, se efectúa la siguiente operación:
\frac{a}{C}\cdot 100

ejercicio

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción


En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados.? ¿Y los suspensos?

Aumentos y disminuciones porcentuales

  • Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
  • Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

  • A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

ejercicio

Proposición


En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

C_F = C_I \cdot I_V

siendo C_F\; = Cantidad final, C_I\; = Cantidad inicial e I_V\; = Indice de variación.

  • En aumentos porcentuales del n%:

C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)

  • En una disminución porcentual del n%:

C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)

ejercicio

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual


a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?
b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

ejercicio

Proposición


La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:
C_I = \cfrac{C_F}{I_V}

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial


a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.
b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Encadenamiento de variaciones porcentuales

ejercicio

Proposición


Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento.

ejercicio

Ejemplo: Encadenamiento porcentual


El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.
a) Calcula el precio final tras las dos subidas.
b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?

ejercicio

Problemas: Encadenamiento porcentual


1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?
2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?
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