Porcentajes

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Definición de porcentaje

Las fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente, porcentajes.

Por ejemplo:

\frac{30}{100}=30%; \quad \frac{28}{100}=28%; \quad \frac{70}{100}=70%;\quad \frac{12}{100}=12%;

Leemos: 30 por ciento; 28 por ciento; 70 por ciento; y 12 por ciento.

Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de porcentajes


Actividad 1. En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

El \ n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de un porcentaje


Calcula el 16% de 2000.

ejercicio

Actividades Interactivas: Cálculo de porcentajes


Actividad 1. Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

Actividad 2. Calcula mentalmente.

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje


Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a\;\!, repecto a un total, C\;\!, se efectúa la siguiente operación:

\frac{a}{C}\cdot 100

ejercicio

Ejemplo: Porcentaje de una proporción


En un grupo de 3ºESO de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados.? ¿Y los suspensos?

Aumentos y disminuciones porcentuales

  • Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad.


  • El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \acute{I}ndice  \ de \ Variaci \acute{o} n


  • En aumentos porcentuales del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)


  • En una disminución porcentual del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.

Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)

ejercicio

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual


a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?
b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

ejercicio

Actividades Interactivas: Aumentos y disminuciones porcentuales


Actividad 1. Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?

b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?

c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?

d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?

e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuanto será al añadirle el 16% de IVA?

f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?

Actividad 2. Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?

b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?

c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?

d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?

e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?

f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación.

Cantidad \ Inicial = \cfrac{Cantidad \ Final}{\acute{I}ndice \ de \ Variaci \acute{o} n}

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial


a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Encadenamiento de variaciones porcentuales

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento

ejercicio

Ejemplo: Encadenamiento porcentual


El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.
b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?

ejercicio

Problemas: Encadenamiento porcentual


1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?
2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?
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