Porcentajes

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Tabla de contenidos

Definición de porcentaje

Llamaremos porcentaje a toda fracción con denominador igual a 100. Esto es,

n% = \cfrac{n}{100}         (se lee "n\; por ciento")

Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Hallar el n%\; de una cantidad es simplemente calcular la fracción de una cantidad:

n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)


En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una fracción cuyo denominador es 100. Si transformamos esa fracción en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación:

ejercicio

Procedimiento


Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el resultado de dividir n entre 100.

Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

ejercicio

Procedimiento


  • Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
  • Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
  • Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
  • Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

ejercicio

Actividades Interactivas: Cálculo de porcentajes


Actividad 1. Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

Actividad 2. Calcula mentalmente.

Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje


Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción

ejercicio

Procentaje correspondiente a una proporción


Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a\;\!, repecto a un total, C\;\!, se efectúa la siguiente operación:

\frac{a}{C}\cdot 100

ejercicio

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción


En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Aumentos y disminuciones porcentuales

  • Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
  • Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

  • A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

ejercicio

Proposición


En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

C_F = C_I \cdot I_V

siendo C_F\; = Cantidad final, C_I\; = Cantidad inicial e I_V\; = Indice de variación.

  • En aumentos porcentuales del n%:

C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)

  • En una disminuciones porcentuales del n%:

C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)

ejercicio

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual


a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

ejercicio

Proposición


La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:

C_I = \cfrac{C_F}{I_V}

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial


a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Encadenamiento de variaciones porcentuales

ejercicio

Proposición


Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento.

ejercicio

Ejemplo: Encadenamiento porcentual


El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.
b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?

ejercicio

Problemas: Encadenamiento porcentual


1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?
2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?

Ejercicios y problemas

Herramientas personales
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