Ángulos

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Tabla de contenidos

1 Ángulo
2 Tipos de ángulos
3 Relaciones entre ángulos
- 3.1 Ángulos de lados paralelos o perpendiculares
- 3.2 Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
4 Medida de ángulos
5 Operaciones con ángulos
6 Ángulos en los polígonos
7 Ángulos en la circunferencia
8 Ángulos horizontales
- 8.1 Puntos cardinales
- 8.2 Rumbo
9 Ejercicios

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Ángulo

Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Definición de ángulo Descripción:

Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.

Ángulos

Tutorial 1 (3'58") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 2 (10'39") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 3 (9'29") Sinopsis:

Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular

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Tipos de ángulos

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Clasificación de los ángulos según su amplitud Descripción:

En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Tutorial 1 (4´07") Sinopsis:

En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.

Tutorial 2 (2´34") Sinopsis:

En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.

Tutorial 3 (5´06") Sinopsis:

En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.

Tipos de ángulos según su amplitud Descripción:

Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.

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Relaciones entre ángulos

Dos ángulos son iguales si tienen la misma amplitud.
Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
Ángulos conjugados son aquellos cuya suma es un ángulo completo.
Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice y un lado en común.
Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Por tanto son consecutivos y suplementarios simultáneamente.
Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos consecutivos

a y c son opuestos por el vértice,

al igual que b y d

Relaciones entre ángulos

Tutorial 1 (3'33") Sinopsis:

Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y formados por rectas secantes.

Tutorial 2 (4´36") Sinopsis:

Con este video vamos a estudiar la clasificación de los ángulos de acuerdo a su relación: ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados, ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.

Tutorial 3 (9´19") Sinopsis:

Ángulos complementarios y suplementarios. Ejemplos.

Tutorial 4 (5'55") Sinopsis:

Ángulos relacionados según su posición y según su amplitud.

Tutorial 5 (5´43") Sinopsis:

Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y adyacentes.

Relaciones entre ángulos

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás observar las distintas relaciones que hay entre ángulos.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás interactuar con ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.

Actividad 3 Descripción:

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Ángulos de lados paralelos o perpendiculares

Proposición

Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

Ángulos de lados paralelos Descripción:

En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios .

Ángulos de lados perpendiculares Descripción:

En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

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Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

Propiedades

Ángulos alternos internos son iguales.
Ángulos alternos externos son iguales.
Ángulos correspondientes son iguales.
Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ángulos conjugados internos son suplementarios.
Ángulos conjugados externos son suplementarios.
Ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Tutorial 1 (2'55") Sinopsis:

Videotutorial.

Tutorial 2 (7'02") Sinopsis:

Videotutorial.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.

Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

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Medida de ángulos

La siguiente tanda de videotutoriales condensa todo lo que se va a ver en este apartado:

Sistemas de medidas angulares

Tutorial 1 (6´41") Sinopsis:

Definición de ángulo. Tipos.
Sistema sexagesimal.
Definición de radian.
Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

Tutorial 2 (19´24") Sinopsis:

Relación entre los sistemas de medida sexagesimal, centesimal y radial.

Tutorial 3 (28'57") Sinopsis:

Concepto de ángulo orientado: ángulos positivos y negativos.
Sistema sexagesimal, centesimal y radial.
Ejemplos de conversiones entre sistemas.

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Sistema sexagesimal

Si dividimos el ángulo completo en 360 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado sexagesimal. Para indicar que una medida está en grados sexagesimales se acompaña la medida numérica con un superíndice en forma de circulito (º). Así tenemos que:
- El ángulo completo tiene 360º.
- El ángulo llano tiene 180º
- El ángulo recto tiene 90º.

Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').

Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal (19'07") Sinopsis:

El sistema sexagesimal: definición y equivalencias. Ejemplos de conversiones.

Sistema sexagesimal. Paso de forma incompleja a compleja (6'26") Sinopsis:

Sistema sexagesimal. Paso de forma incompleja a compleja.

Sistema sexagesimal. Paso de forma compleja a incompleja. (4'41") Sinopsis:

Sistema sexagesimal. Paso de forma compleja a incompleja.

Convertir grados (en decimal) a grados, minutos y segundos:

Ejercicio 1 (8'26") Sinopsis:

Convierte 63.43º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 2 (2'13") Sinopsis:

Convierte 27.312º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 3 (2'13") Sinopsis:

Convierte 29.99º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 4 (2'36") Sinopsis:

Convierte a grados, minutos y segundos:

a) 15.925º

b) 78.8319º

Ejercicio 5 (2'34") Sinopsis:

Convierte a grados, minutos y segundos:

a) 55.0431º

b) 239.8004º

Convertir grados, minutos y segundos a grados (decimal):

Ejercicio 1 (2'46") Sinopsis:

Convierte 72º 42' 15" a grados.

Ejercicio 2 (2'59") Sinopsis:

Convierte 98º 22' 55" a grados.

Ejercicio 3 (3'24") Sinopsis:

Convierte a grados:

a) 94º 45' 15"

b) 163º 28' 42"

Ejercicio 4 (2'47") Sinopsis:

Convierte a grados:

a) 78º 56' 11"

b) 287º 5' 9"

Convertir grados, minutos y segundos a minutos (decimal):

Ejercicio 1 (2'40") Sinopsis:

Convierte 48º 29' 18" a minutos.

Ejercicio 2 (2'35") Sinopsis:

Convierte 7º 7' 7" a minutos.

Convertir grados, minutos y segundos a segundos (decimal):

Ejercicio 1 (2'36") Sinopsis:

Convierte 31º 27' 30" a minutos.

Ejercicio 2 (2'31") Sinopsis:

Convierte 12º 24' 15" a minutos.

Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal Descripción:

Construye en la escena ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Apunta en tu cuaderno de qué tipo es cada uno de ellos.

Calculadora: Pasar ángulos con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos" y viceversa

Para pasar ángulos (en sexagesimal) con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos", y viceversa, usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: Convertir el ángulo 30.6789º a formato "grados, minutos y segundos".

Procedimiento: 30.6789º

Solución: 30º 40' 44"

Para volver al formato decimal de partida, volveremos a pulsar sólo la tecla

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Sistema centesimal

Si dividimos el ángulo completo en 400 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado centesimal. Para indicar que una medida está en grados centesimales se acompaña la medida numérica con la letra g en forma de superíndice. Así tenemos que:
- El ángulo completo tiene 400^g.
- El ángulo llano tiene 200^g.
- El ángulo recto tiene 100^g.

Un grado centesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos centesimales. Un grado centesimal equivale a 100 minutos centesimales (100^m o 100^c).
Un minuto centesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos centesimales. Un minuto centesimal equivale a 100 segundos centesimales (100^s o 100^cc).

El sistema centesimal (16'40") Sinopsis:

El sistema centesimal: definición y equivalencias. Ejemplos de conversiones.

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El radián

El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.

En la figura adjunta el ángulo $\phi \,$ mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.

El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).

Utilidad del radián:

La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Por ejemplo, la fórmula para hallar la longitud de un arco de circunferencia de radio r correspondiente a un ángulo $θ$ (en grados sexagesimales), viene dada por la fórmula:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{360}$

Ahora, si $θ$ viene dado en radianes, la fórmula es:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{2\pi}=r \cdot \theta$

Si además trabajamos con el círculo unidad (r = 1):

$l= \theta\;$

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

$\pi \, rad = 180^\circ$

En consecuencia:

$1 \, rad=\cfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45 '' \qquad \qquad1^\circ = \cfrac {\pi \, rad} {180} \approx 0.0175 \, rad$

Demostración:

Como la longitud de una circunferencia de radio $R \,$ es $2 \pi R \,$ , tenemos que una circunferencia contiene $2 \pi \,$ veces a la radio. Por tanto, 360º equivalen a $2 \pi \,$ rad y , dividiendo por 2, 180º equivalen a $\pi \,$ rad.

Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

Sistema radial o circular

Tutorial (9'02") Sinopsis:

Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes.

Tutorial 2a (6´42") Sinopsis:

El sistema radial o circular. Equivalencias con el sistema sexagesimal.

Tutorial 2b (9´15") Sinopsis:

Ejemplos:

Expresa el ángulo 32,56º (32 grados y 56 centésimas de grado) en grados, minutos y segundos.
Expresa el ángulo 46º15'36" en grados sexagesimales.
Expresa el ángulo 2,6 rad. en grados, minutos y segundos.
Expresa en radianes el ángulo 72º.

Tutorial 3a (10´51") Sinopsis:

Introducción a los radianes.

Tutorial 3b (7´12") Sinopsis:

Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.

Tau vs Pi (16´26") Sinopsis:

Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.

Convertir grados sexagesimales a radianes:

Ejercicio 1 (3´13") Sinopsis:

Expresa 200º en radianes.

Ejercicio 2 (3´13") Sinopsis:

Expresa 135º en radianes.

Ejercicio 3 (3´36") Sinopsis:

Expresa 45.32º en radianes.

Ejercicio 4 (3´26") Sinopsis:

Expresa 16.142º en radianes.

Ejercicio 5 (5´11") Sinopsis:

Expresa 132º 42' 37" en radianes.

Ejercicio 6 (5´32") Sinopsis:

Expresa 12º 45" en radianes.

Ejercicio 7 (1´29") Sinopsis:

Expresa 750º en radianes.

Ejercicio 8 (7´02") Sinopsis:

Expresa 150º y -45º en radianes.

Convertir radianes a grados sexagesimales:

Ejercicio 1 (2´46") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{11\pi}{6}$ radianes en grados.

Ejercicio 2 (2´53") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{5\pi}{3}$ radianes en grados.

Ejercicio 3 (3´42") Sinopsis:

Expresa 8 radianes en grados.

Ejercicio 4 (3´32") Sinopsis:

Expresa 0.5 radianes en grados.

Ejercicio 5 (3´41") Sinopsis:

Expresa 5.214 radianes en grados.

Ejercicio 6 (1´39") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{7\pi}{3}$ radianes en grados.

Ejercicio 7 (7´02") Sinopsis:

Expresa $\pi\;$ radianes y $-\cfrac{\pi}{3}$ radianes en grados.

Otros ejercicios:

Ejercicio 1 (5´08") Sinopsis:

Indica en que cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: $\cfrac{3\pi}{5}\;$ radianes, $\cfrac{2\pi}{7}\;$ radianes y 3 radianes.

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Operaciones con ángulos

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Suma

Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro. La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente:

La suma gráfica se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.
La suma analítica se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante.

Suma de ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se suman ángulos gráficamente y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Suma de ángulos Descripción:

Construcción gráfica de la suma de dos ángulos, con regla y compás.

Procedimiento

Para sumar analíticamente un ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

Sumamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si la suma de los segundos es superior a 60, la transformamos en minutos, y se la añadimos a los minutos.
Si la suma de los minutos es superior a 60, la transformamos en grados, y se la añadimos a los grados.

Ejemplo: Suma de ángulos

Calcula la siguiente suma de ángulo en sexagesimal en forma compleja:

$22^\circ \, 48' \, 35'' + 56^\circ \, 45' \, 30''$

Solución:

Solución:

Si sumamos por separado los grados, los minutos y los segundos, resulta:

  22º  48'  35"
+ 56º  45'  30"
 _______________
  78º  93'  65"

Pero 65" equivalen a 1' (60") y 5", luego la suma se puede escribir así:

78º  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1º (60') y 34'. Luego la suma es:

79º 34' 5"

Suma de ángulos

Actividad 1 Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" + 37º 42' 15"

b) 125º 15' 30" + 24º 50' 40"

c) 33º 33' 33" + 17º 43' 34"

Actividad 2 Descripción:

Suma de ángulos en sexagesimal.

Suma de ángulos en forma compleja

Tutorial (6'25") Sinopsis:

Suma de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (3'37") Sinopsis:

Calcula: (26º 42' 51") + (11º 30' 14")

Ejercicio 2 (2'48") Sinopsis:

Calcula: (26º 14' 41") + (24º 59")

Ejercicio 3 (2'42") Sinopsis:

Calcula: (38º 47') + (19º 54' 10")

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Resta

La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.

La resta gráfica, consiste en colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos.
La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.

Resta de ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se restan ángulos de forma gráfica y de forma analítica simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Resta de ángulos Descripción:

Construcción gráfica de la resta de dos ángulos, con regla y compás.

Procedimiento

Para restar analíticamente ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

Restamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si al restar los segundos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un minuto en 60" y se lo sumaremos a los segundos.
Si al restar los minutos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un grado en 60' y se lo sumaremos a los minutos.
Terminaremos restando los grados normalmente.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Resta de ángulos

Calcula la siguiente resta de ángulo en sexagesimal en forma compleja :

$62^\circ - 56^\circ \, 48' \, 35''$

Solución:

Debemos hacer la siguiente operación:

  62º   0'   0" 
− 56º  48'  35" 
 _______________

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, los 60º se convierten en 61º 59' 60".

  61º 59' 60" 
− 56º 48' 35" 
 _____________
  5º  11' 25"

Resta de ángulos

Actividad 1 Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" - 37º 42' 15"

b) 125º 15' 30" - 24º 50' 40"

c) 33º 33' 33" - 17º 43' 34"

Actividad 2 Descripción:

Calcula el complementario y el suplementario de los siguientes ángulos y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40"

b) 37º 42' 15"

c) 125º 15' 30"

Actividad 3 Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 4 Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 5 Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

Actividad 6 Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

Resta de ángulos en forma compleja

Tutorial (5'08") Sinopsis:

Resta de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (2'58") Sinopsis:

Calcula: (213º 17' 25") - (122º 35' 48")

Ejercicio 2 (2'52") Sinopsis:

Calcula: (49º 12') - (15º 27' 50")

Ejercicio 3 (2'16") Sinopsis:

Calcula: (100º 18") - (31º 20' 10")

Ejercicio 4 (2'55") Sinopsis:

Calcula: (147º) - (23º 52' 3")

Ejercicio 5 (3'45") Sinopsis:

¿Cuál es el complementario de 53º41'28"

Ejercicio 6 (3'43") Sinopsis:

¿Cuál es el suplementario de 75º16'49"

Ejercicio 7 (2'34") Sinopsis:

Calcula: (131º 45' 36") - (31º 58' 26")

Suma y resta de ángulos

Tutorial 1 (7'37") Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

Tutorial 2 (2'12") Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

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Multiplicación por un número natural

Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.

La multiplicación gráfica de un ángulo por un número natural se hace colocando el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
La multiplicación analítica se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.

Multiplicación de un ángulo por un número Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se multiplican ángulos por números naturales de forma gráfica y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Procedimiento

Para multiplicar analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, por un número natural:

Multiplicamos por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si los segundos resultantes son superiores a 60, los transformamos en minutos, y se lo añadimos a los minutos.
Si los minutos resultantes son superiores a 60, los transformamos en grados, y se lo añadimos a los grados.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Multiplicación de un ángulo por un número

Calcula la siguiente multiplicación de un ángulo en sexagesimal en forma compleja por un número natural:

$3 \cdot (18^\circ \, 26' \, 35'')$

Solución:

  18º  26'  35" 
x             3    
 _______________
  54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

 54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

 55º 19' 45"

Actividades: Multiplicación de un ángulo por un número Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" x 2

b) 37º 42' 15" x 4

c) 125º 15' 30" x 3

Multiplicación de un ángulo por un número, en forma compleja

Tutorial (2'06") Sinopsis:

Multiplicación de ángulos por un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (3'34") Sinopsis:

Calcula: (25º 12' 37")· 5

Ejercicio 2 (3'04") Sinopsis:

Calcula: (50º 18")· 20

Ejercicio 3 (2'54") Sinopsis:

Calcula: (72º 31')· 17

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División por un número natural

La división de un ángulo por un número natural es una operación que consiste en separar el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.

La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
La división gráfica resulta más compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.

Por ejemplo, la división de un ángulo en tres partes iguales (el famoso problema de la trisección del ángulo), es imposible para la mayor parte de los ángulos. En cambio, siempre es posible calcular la división de un ángulo en dos partes iguales gráficamente, mediante el trazado de la bisectriz del ángulo.

Trisección de un ángulo recto Descripción:

Construcción gráfica de la trisección de un ángulo recto, con regla y compás.

División de un ángulo por un número Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se dividen ángulos por números naturales. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Procedimiento

Para dividir analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, entre un número natural:

Dividimos los grados entre ese número.
Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos.
Dividimos los minutos.
Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. #Dividimos los segundos.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: División por un número en forma compleja

Calcula la siguiente división de un ángulo en sexagesimal en forma compleja entre un número natural:

$(66^\circ \, 45' \, 36''):4$

Solución:

Actividad: División de ángulos por un número Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" : 5

b) 37º 42' 15" : 4

c) 125º 15' 30" : 3

División un ángulo entre un número en forma compleja

Tutorial (7'13") Sinopsis:

División de un ángulo entre un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (4'21") Sinopsis:

Calcula: (139º 34' 48") : 6

Ejercicio 2 (5'11") Sinopsis:

Calcula: (50º 20' 26") : 12

Ejercicio 3 (5'13") Sinopsis:

Calcula: (125º 37') : 9

Ejercicio 3 (4'03") Sinopsis:

Calcula: (65º 21') : 3

Multiplicación y división de ángulos (9'37") Sinopsis:

Multiplicación y división en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

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Actividades

Ejercicios (10'15") Sinopsis:

3 ejercicios sobre medida y tipos de ángulos.

Operaciones con ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se suman, restan, multiplican o dividen ángulos en sexagesimal, en forma compleja.
Ejercicios resueltos.

Ejercicios resueltos: Operaciones con ángulos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Autoevaluación: Operaciones con ángulos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Operaciones con ángulos Descripción:

En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y analíticamente.

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Ángulos en los polígonos

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Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

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Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

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Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.

Tutorial (2'37") Sinopsis:

Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Problema (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:

En la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

Ángulos en el cuadrilátero

Ejercicio 1a (6'48") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 1b (5'23") Sinopsis:

Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 2 (1'51") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

Tutorial 2 (3´24") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

Tutorial 3 (6´13") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un polígono.

Tutorial 4 (9´02") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.

Tutorial 5 (5´38") Sinopsis:

Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.

Ejercicio (2´20") Sinopsis:

¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis:

Ángulo exterior de un polígono regular

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Actividades

Actividad 1: Ángulos en los polígonos Descripción:

Actividad 2: Ángulos en los polígonos Descripción:

Autoevaluación 1: Ángulos en los polígonos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre los ángulos en los polígonos.

Autoevaluación 2: Ángulos en los polígonos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre los ángulos en los polígonos.

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Ángulos en la circunferencia

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Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo $\widehat{AOB}$ y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central $\widehat{AOB}$ .

Ángulo central Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.

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Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito $\widehat{BAC}$ .

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Propiedades

Propiedades

Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Demostración:

Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:

Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.

La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.

Ángulo inscrito Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

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Actividades y videotutoriales

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central e inscrito (1´43") Sinopsis:

Ángulos centrales e incritos. Propiedad.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.

Ejercicio 2 (8'21") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.

Autoevaluación: Ángulos en la circunferencia Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ángulos centrales e inscritos.

Actividad: Ángulos en la circunferencia Descripción:

Ángulos en la circunferencia (ampliación) (8'21") Sinopsis:

Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.

Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.

Ejercicios: Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.

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Ángulos horizontales

Angulos horizontales son los ángulos que se encuentran contenidos en el plano horizontal. Su medida se realiza con respecto al meridiano terrestre en el cual nos encontremos situados.

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Puntos cardinales

Los puntos cardinales son los cuatro sentidos que conforman un sistema de referencia cartesiano para representar la orientación en un mapa o en la propia superficie terrestre. Son los siguientes: Este (E), Oeste (O), Norte (N) y Sur (S).

El Este, que viene señalado por el lugar aproximado donde sale el Sol cada día.
El Oeste, el punto indicado por la puesta del Sol en su movimiento aparente.
La línea Este–Oeste se la considera como el eje de las abscisas en un sistema de coordenadas geográficas.
El eje de las ordenadas estaría descrito por la línea Norte–Sur, que se corresponde con el eje de rotación terrestre.

Esta composición genera cuatro ángulos de noventa grados que a su vez se dividen por las bisectrices, generando Noroeste (NE), Suroeste (SE), Noreste (NE) y Sureste (SE).

Si seguimos subdividiendo, obtenemos 8 direcciones terciarias: Nor-noroeste (NNO); Nor-noroeste (NNO); Sur-sureste (SSE); Sur-suroeste (SSO); Este-noreste (ENE); Este-sureste (ESE); Oeste-noroeste (ONO) y Oeste-suroeste (OSO), obteniendose la rosa de los vientos que es usada en navegación desde siglos ancestrales, y que tienes representada en la imagen de la derecha.

Rosa de los vientos

La palabra cardinal se deriva del nombre latino «cardo», que identificaba, en las ciudades romanas, la calle trazada de norte a sur y que pasaba por el centro de la ciudad. Esto significa que el único punto verdaderamente cardinal, al menos desde el punto de vista etimológico, debería ser el Norte, y, en menor grado, el Sur.

Por eso se usa la expresión «de una importancia cardinal» cuando se quiere resaltar esa importancia. De los puntos cardinales, es el Norte el que identifica la dirección de la orientación, por lo que suele decirse en sentido figurado que una persona ha perdido su Norte cuando se encuentra desorientada o ha perdido su rumbo.

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Rumbo

El rumbo es la dirección en la que nos movemos o navegamos, o en la cual nos dirigimos o miramos. Hay dos tipos:

Rumbo cuadrantal (rumbo): si lo expresamos como el ángulo agudo que forma el eje Norte-Sur con la dirección del avance.

Rumbo circular (azimut): si lo expresamos como el ángulo entre el eje Norte y la dirección del avance, medido de 0º a 360º.

En navegación, anteriormente, el rumbo se expresaba en "cuadrantal", por referencia a un cuadrante de la rosa náutica, pero actualmente se utiliza el rumbo "circular".

Ejemplos de rumbos cuadrantales

Ejemplos

Ejemplo 1: Para ir de P a Q podemos decir que el rumbo es N35°O, o bien que Q está "35° al oeste del norte" de P. (Ver Fig. 1)

Ejemplo 2: Un rumbo cuadrantal N65ºO significa 65º hacia el Oeste contados desde el Norte, lo que equivale a un rumbo circular de 295º. (Ver Fig. 2)

Ejemplo 3: Un rumbo cuadrantal N35ºE significa 35º hacia el Este contados desde el Norte. En este caso coincide con el rumbo circular. (Ver Fig. 3)

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Ángulos horizontales

Tutorial (9'37") Sinopsis:

Los ángulos y los puntos cardinales.

Problema 1 (7'58") Sinopsis:

Dos ciudades A y B están separadas 50 millas. La ciudad b está situada con respecto a la ciudad A, a 58º sureste. Una tercera ciudad, C, se ve desde A en la dirección S28ºE y desde la ciudad B en la dirección S62ºO. Calcula la distancia en millas entre las ciudades B y C.

Problema 2 (17'05") Sinopsis:

Problema sobre ángulos horizontales (nivel 1).

Problema 3 (25'03") Sinopsis:

Problema sobre ángulos horizontales (nivel 2).

Problema 4 (15'20") Sinopsis:

Problema sobre ángulos horizontales (nivel 3).

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Ejercicios

Ángulos

Ejercicio 1 (5'44") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 2 (6'18") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 3 (7'37") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 4 (5'37") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 5 (5'21") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 6 (6'38") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 7 (14'29") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Ejercicio 8 (7'21") Sinopsis:

Problemas sobre ángulos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81ngulos"

Categorías: Matemáticas | Geometría

Ángulos

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Ángulo

Tipos de ángulos

Relaciones entre ángulos

Ángulos de lados paralelos o perpendiculares

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

Sistema centesimal

El radián

Operaciones con ángulos

Suma

Resta

Multiplicación por un número natural

División por un número natural

Actividades

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

Polígonos cóncavos y convexos

Ángulos en un triángulo

Ángulos en un cuadrilátero

Ángulos en un polígono de n lados

Actividades

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Ángulo inscrito

Propiedades

Actividades y videotutoriales

Ángulos horizontales

Puntos cardinales

Rumbo

Ejercicios

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas

-{{Menú Matemáticas 3ESO
+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
 |ir=
 |ampliar=
 {{p}}
 ==Ángulo==
-{{Tabla75|celda1=
+{{Ángulo: definición}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''ángulo''' es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.}}
+{{p}}
-En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.
-|celda2=
-[[Imagen:angulo_concavo.gif|right|200px]]
-}}
 ==Tipos de ángulos==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{Tipos de ángulos según su abertura}}
-* '''Ángulo nulo'''
-Es el ángulo definido por dos semirrectas que coinciden. No barre ninguna porción del plano.
-* '''Ángulo llano'''
+==Relaciones entre ángulos==
-Cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.
+{{Relación entre ángulos}}
+{{p}}
-* '''Ángulo convexo'''
+===Ángulos de lados paralelos o perpendiculares===
-Si es menor que un ángulo llano.
+{{Ángulos de lados paralelos o perpendiculares}}
+{{p}}
-* '''Ángulo cóncavo'''
+===Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal===
-Si es mayor que un ángulo llano.
+{{Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal}}
-* '''Ángulo recto'''
-Es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares.
-* '''Ángulo completo'''
-Es el ángulo que abarca todo el plano.
-* '''Ángulo agudo'''
-Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.
-* '''Ángulo obtuso'''
-Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulo recto.
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Ángulos''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Animación que muestra los distintos tipos de ángulos.
-|actividad=
 {{p}}
-Pulsa el botón de reproducción para ver la animación:
-<center><iframe>
+==Medida de ángulos==
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo1_1.html
+La siguiente tanda de videotutoriales condensa todo lo que se va a ver en este apartado:
-width=500
-height=450
-name=myframe
-</iframe></center>
+{{Videotutoriales|titulo=Sistemas de medidas angulares|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=6´41"
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/01-medida-de-los-angulos#.VCe5GPl_u2E
+|sinopsis=*Definición de ángulo. Tipos.
+*Sistema sexagesimal.
+*Definición de radian.
+*Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
+}}
+{{Video_enlace_abel
+|titulo1=Tutorial 2
+|duracion=19´24"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=NHbexAe742Q
+|sinopsis=Relación entre los sistemas de medida sexagesimal, centesimal y radial.
+}}
+{{Video_enlace_matemovil
+|titulo1=Tutorial 3
+|duracion=28'57"
+|sinopsis=*Concepto de ángulo orientado: ángulos positivos y negativos.
+*Sistema sexagesimal, centesimal y radial.
+*Ejemplos de conversiones entre sistemas.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lpCYh33U18I&index=2&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33
 }}
 }}
-==Medida de ángulos==
 ===Sistema sexagesimal===
-En este sistema la unidad es el '''grado sexagesimal''' y el ángulo completo tiene 360º.{{p}}
+{{sistema sexagesimal}}
-El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.
+{{p}}
+{{Casio FX100-MS Angulos de decimal a grados}}
+{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Sistema sexagesimal''|cuerpo=
+===Sistema centesimal===
-{{ai_cuerpo
+{{sistema centesimal}}
-|enunciado=1. Representación de ángulos.
+===El radián===
-|actividad=
+{{el radian}}
+{{p}}
+{{Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales}}
+{{p}}
+{{Videotutoriales radian}}
 {{p}}
-Arrastra los puntos A y B de la escena para obtener los distintos ángulos:
-El ángulo se nombra <math>\widehat {AOB}</math> siendo O el vértice, y A y B dos puntos en sus lados.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo2_1.html
-width=500
-height=450
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-}}
-Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas '''minutos sexageximales'''. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
-Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas '''segundos sexagesimales'''. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").
 ==Operaciones con ángulos==
-===Suma===
+{{Operaciones con ángulos}}
-La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:
+{{p}}
-{{Ejemplo
+==Ángulos en los polígonos==
-|titulo=Ejemplo: ''Suma en el sistema sexagesimal''
+===Ángulos interiores y exteriores===
-|enunciado=
+{{Ángulos interiores y exteriores}}
-:Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
+{{p}}
-|sol=
+===Polígonos cóncavos y convexos===
-Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
+{{Polígonos cóncavos y convexos}}
-<center><pre>
+{{p}}
-h  48 min  35 s
-+ 2 h  45 min  30 s
- ___________________
-h  93 min  65 s
-</pre></center>
-Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:
+===Ángulos en un triángulo===
+{{Ángulos en un triángulo}}
+{{p}}
-<center><pre>4 h  94 min  5 s</pre></center>
+===Ángulos en un cuadrilátero===
+{{Ángulos en un cuadrilátero}}
-De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
-<center><pre>5 h  34 min  5 s</pre></center>
-}}
 {{p}}
-Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
+===Ángulos en un polígono de n lados===
+{{Ángulos en un polígono de n lados}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Suma de ángulos''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
-|actividad=
-Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos:
-:a) 56º 20' 40"  +  37º 42' 15"
-:b) 125º 15' 30"  +  24º 50' 40"
+===Actividades===
+{{actividades ángulos en polígonos}}
-:c) 33º 33' 33"  +  17º 43' 34"
+==Ángulos en la circunferencia==
+===Ángulo central===
-A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos.
+{{Ángulo central}}
-Los grados, minutos y segundos superiores corresponden a los del primer sumando y los inferiores a los del segundo sumando.
+===Ángulo inscrito===
+{{Ángulo inscrito}}
-<center><iframe>
+===Actividades y videotutoriales===
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo5_1.html
+{{Actividades y videotutoriales: Ángulos}}
-width=500
-height=300
-name=myframe
-</iframe></center>
+==Ángulos horizontales==
+{{Caja_Amarilla|texto='''Angulos horizontales''' son los ángulos que se encuentran contenidos en el plano horizontal. Su medida se realiza con respecto al meridiano terrestre en el cual nos encontremos situados.
 }}
-}}
+{{p}}
-===Resta===
+===Puntos cardinales===
-Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:
+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:rosa_vientos.png|250px]]{{p}}Rosa de los vientos</center>|celda1=
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Los '''puntos cardinales''' son los cuatro sentidos que conforman un sistema de referencia cartesiano para representar la orientación en un mapa o en la propia superficie terrestre. Son los siguientes: '''Este''' (E), '''Oeste''' (O), '''Norte''' (N) y '''Sur''' (S).
-{{Ejemplo
+*El '''Este''', que viene señalado por el lugar aproximado donde sale el Sol cada día.
-|titulo=Ejemplo: ''Resta en el sistema sexagesimal''
+*El '''Oeste''', el punto indicado por la puesta del Sol en su movimiento aparente.
-|enunciado=
+*La línea Este–Oeste se la considera como el eje de las abscisas en un sistema de coordenadas geográficas.
-:En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
+*El eje de las ordenadas estaría descrito por la línea Norte–Sur, que se corresponde con el eje de rotación terrestre.
-|sol=
-Debemos hacer la siguiente operación:
-<center><pre>
-h   0 min   0 s
-− 2 h  48 min  35 s
- ___________________
-</pre></center>
-Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
-<center><pre>
-h   0 min   0 s
-− 2 h  48 min  35 s
- ___________________
-h  11 min  25 s
-</pre></center>
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Resta de ángulos''|cuerpo=
+Esta composición genera cuatro ángulos de noventa grados que a su vez se dividen por las bisectrices, generando '''Noroeste''' (NE), '''Suroeste''' (SE), '''Noreste''' (NE) y '''Sureste''' (SE).
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
-|actividad=
-Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos:
-:a) 56º 20' 40"  -  37º 42' 15"
-:b) 125º 15' 30"  -  24º 50' 40"
-:c) 33º 33' 33"  -  17º 43' 34"
-A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo6_1.html
-width=500
-height=300
-name=myframe
-</iframe></center>
+Si seguimos subdividiendo, obtenemos 8 direcciones terciarias: Nor-noroeste (NNO); Nor-noroeste (NNO); Sur-sureste (SSE); Sur-suroeste (SSO); Este-noreste (ENE); Este-sureste (ESE); Oeste-noroeste (ONO) y Oeste-suroeste (OSO), obteniendose la '''rosa de los vientos''' que es usada en navegación desde siglos ancestrales, y que tienes representada en la imagen de la derecha.
 }}
-}}
+{{p}}
+La palabra '''cardinal''' se deriva del nombre latino «''cardo''», que identificaba, en las ciudades romanas, la calle trazada de norte a sur y que pasaba por el centro de la ciudad. Esto significa que el único punto verdaderamente cardinal, al menos desde el punto de vista etimológico, debería ser el Norte, y, en menor grado, el Sur.
-===Multiplicación por un número natural===
+Por eso se usa la expresión «de una importancia cardinal» cuando se quiere resaltar esa importancia. De los puntos cardinales, es el Norte el que identifica la dirección de la orientación, por lo que suele decirse en sentido figurado que una persona ha perdido su Norte cuando se encuentra desorientada o ha perdido su rumbo.
-Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
-Analicemos el siguiente ejemplo:
+{{p}}
-{{Ejemplo
+===Rumbo===
-|titulo=Ejemplo: ''Producto por un número en el sistema sexagesimal''
+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:rumbo_cuad.jpg|200px]]Ejemplos de rumbos cuadrantales</center>|celda1=
-|enunciado=
+El '''rumbo''' es la dirección en la que nos movemos o navegamos, o en la cual nos dirigimos o miramos. Hay dos tipos:
-:Multiplica 18º  26'  35" por 3.
+{{p}}
-|sol=
+{{Caja_Amarilla|texto=
-<center><pre>
+*'''Rumbo cuadrantal''' ('''rumbo'''): si lo expresamos como el ángulo agudo que forma el eje Norte-Sur con la dirección del avance.
-º  26'  35"
-          X 3
-_______________
-º  78' 105"
-</pre></center>
-Pero 105" = 1' 45", luego
+*'''Rumbo circular''' ('''azimut'''): si lo expresamos  como el ángulo entre el eje Norte y la dirección del avance, medido de 0º a 360º.
-<center><pre> 54º 79' 45" </pre></center>
-Pero 79' = 1º 19', luego
-<center><pre> 55º 19' 45" </pre></center>
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Producto por un número en el sistema sexagesimal''
+En navegación, anteriormente, el rumbo se expresaba en "cuadrantal", por referencia a un cuadrante de la rosa náutica, pero actualmente se utiliza el rumbo "circular".
-|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
-|actividad=
-Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos:
-:a) 56º 20' 40" x 2
-:b) 37º 42' 15" x 4
-:c) 125º 15' 30" x 3
-A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo7_1.html
-width=500
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
 }}
 {{p}}
-===División por un número natural===
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos|contenido=
-Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
+'''Ejemplo 1:''' Para ir de P a Q podemos decir que el rumbo es N35°O, o bien que Q está "35° al oeste del norte" de P. (Ver Fig. 1)
+{{p}}
+'''Ejemplo 2:''' Un rumbo cuadrantal N65ºO significa 65º hacia el Oeste contados desde el Norte, lo que equivale a un rumbo circular de 295º. (Ver Fig. 2)
+{{p}}
+'''Ejemplo 3:''' Un rumbo cuadrantal N35ºE significa 35º hacia el Este contados desde el Norte. En este caso coincide con el rumbo circular. (Ver Fig. 3)
-Analicemos el siguiente ejemplo:
+----
+{{Tabla3|celda1=<center>[[Imagen:rumbo2.jpg|245px]]{{p}}Fig. 1</center>|celda2=<center>[[Imagen:rumbo3.jpg|260px]]{{p}}Fig. 2</center>|celda3=<center>[[Imagen:rumbo.jpg|265px]]{{p}}Fig. 3</center>}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''División por un número en el sistema sexagesimal''
-|enunciado=
-:Divide 66º  45'  36" entre 4.
-|sol=
-<center>[[Imagen:division_angulos.gif]]</center>
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''División por un número en el sistema sexagesimal''
+{{Videotutoriales|titulo=Ángulos horizontales|enunciado=
-|cuerpo=
+{{Video_enlace_abel
-{{ai_cuerpo
+|titulo1=Tutorial
-|enunciado=1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
+|duracion=9'37"
-|actividad=
+|sinopsis=Los ángulos y los puntos cardinales.
-Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos:
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C1cxtX_7E8M
-:a) 56º 20' 40" : 5
-:b) 37º 42' 15" : 4
-:c) 125º 15' 30" : 3
-A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos.
-Sil pulsas en "pasos" iras viendo el resultado poco a poco.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo8_1.html
-width=500
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
 }}
+{{Video_enlace_abel
+|titulo1=Problema 1
+|duracion=7'58"
+|sinopsis=Dos ciudades A y B están separadas 50 millas. La ciudad b está situada con respecto a la ciudad A, a 58º sureste. Una tercera ciudad, C, se ve desde A en la dirección  S28ºE y desde la ciudad  B en la dirección S62ºO. Calcula la distancia en millas entre las ciudades B y C.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aVLEFVd3rY8
 }}
+{{Video_enlace_matemovil
-==Relaciones entre ángulos==
+|titulo1=Problema 2
-===Ángulos complementarios y suplementarios===
+|duracion=17'05"
-{{Caja_Amarilla|texto=
+|sinopsis=Problema sobre ángulos horizontales (nivel 1).
-* Dos ángulos son '''complementarios''' si suman un ángulo recto.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h0ZdbUw5b5g
-* Dos ángulos son '''suplementarios''' si suman un ángulo llano).
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_matemovil
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Ángulos complementarios y suplementarios''
+|titulo1=Problema 3
-|cuerpo=
+|duracion=25'03"
-{{ai_cuerpo
+|sinopsis=Problema sobre ángulos horizontales (nivel 2).
-|enunciado=1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=p-ofykbNHOg
-|actividad=
-Calcula los ángulos complementario y suplementario de los siguientes:
-:a) 56º 20' 40"
-:b) 37º 42' 15"
-:c) 125º 15' 30"
-Realízalo en tu cuaderno y comprueba luego el resultado en las escenas siguientes:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo9_1.html
-width=500
-height=500
-name=myframe
-</iframe></center>
 }}
+{{Video_enlace_matemovil
+|titulo1=Problema 4
+|duracion=15'20"
+|sinopsis=Problema sobre ángulos horizontales (nivel 3).
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DojX8RPkLQg
 }}
-===Propiedades===
-{{Teorema|titulo=Propiedades: ''Relaciones entre ángulos''
-|enunciado=
-# Dos ángulos '''opuestos por el vértice''' (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
-# Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
-# Dos ángulos con lados perpendiculares son:
-::* Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
-::* Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.
-{{p}}
-|demo=
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/recta3_1.html
-width=100%
-height=300
-name=myframe
-</iframe></center>
 }}
 {{p}}
-==Ángulos en los polígonos==
-===Ángulos interiores y exteriores===
+==Ejercicios==
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:angulo_interior_exterior.jpg|200px|center]]|celda1=
+{{Videotutoriales|titulo=Ángulos|enunciado=
-{{Caja_Amarilla|texto=*Un '''ángulo interior''' o '''ángulo interno''' es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
+{{Video_enlace_abel
-*Un '''ángulo exterior''' o '''ángulo externo''' es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=5'44"
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gLbEJ_12jnI
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_abel
-En el dibujo de la derecha, el ángulo <math>\alpha \,</math> es interno y los ángulos <math>\beta \,</math> y <math>\beta' \,</math>son sus correspondientes ángulos externos.
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=6'18"
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=wLic_ZFgPgQ
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_abel
-===Polígonos cóncavos y convexos===
+|titulo1=Ejercicio 3
-{{Caja_Amarilla|texto=*Un polígono es '''convexo''' si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
+|duracion=7'37"
-*Un polígono es '''cóncavo''' si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Drsdd2q6Z6k
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_abel
+|titulo1=Ejercicio 4
-===Ángulos en un triángulo===
+|duracion=5'37"
-{{Teorema|titulo=Propiedad
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
-|enunciado=:Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yzfn17ToowU
-|demo=Podrás comprobar esta propiedad en las siguientes tres escenas. Para ello desliza el punto verde y describe lo que observes.
-Cambia la posición de los vértices del triángulo y vuelve a deslizar el punto verde:
-*¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo cualquiera? ¿Por qué?
-'''Escena1:'''
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_1.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-----
-'''Escena2:'''
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_2.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-----
-'''Escena3:'''
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_3.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_triangulo_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_abel
-===Ángulos en un polígono===
+|titulo1=Ejercicio 5
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Teorema|enunciado=:La suma de los ángulos interiores de un polígono de <math>n\,</math> lados es igual a <math>(n-2) \cdot 180^\circ</math>.}}
+|duracion=5'21"
-{{p}}
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
-Las siguientes actividades te ayudarán a comprender el porqué de este teorema.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nmxEyBzk1yA
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Ángulos en un polígono''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1: '''Ángulos en un cuadrilátero.
-|actividad=
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_cuadrilatero_1.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_cuadrilatero_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto verde y describe lo que observes.
-*¿A qué otra suma de ángulos equivale la suma de los ángulos del cuadrilátero?
-Mueve los vértices y vuelve a experimentar con el deslizador:
-*Cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero cualquiera? ¿Por qué?
 }}
-{{ai_cuerpo
+{{Video_enlace_abel
-|enunciado='''Actividad 2: '''Ángulos en un pentágono
+|titulo1=Ejercicio 6
-|actividad=
+|duracion=6'38"
-<center><iframe>
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_pentagono_1.html
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zl6MOuxkVAc
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_pentagono_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto verde y describe lo que observes.
-*¿A qué otra suma de ángulos equivale la suma de los ángulos del pentágono?
-Mueve los vértices y vuelve a experimentar con el deslizador.
-----
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_pentagono_2.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_pentagono_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-* Observa el pentágono de la figura ¿Qué relación hay entre cada uno de sus ángulos (los morados) y los adyacentes (los verdes)?
-*¿Cuánto sumarán los 10 ángulos en total? Desliza el punto verde y describe lo que observes.
-*¿Cuánto suman los cinco ángulos verdes?
-*Deduce cuánto suman los ángulos del pentágono.
-Modifica los vértices del pentágono y vuelve a experimentar con el deslizador.
 }}
-{{ai_cuerpo
+{{Video_enlace_abel
-|enunciado='''Actividad 3: '''Ángulos en un hexágono y en un polígono cualquiera.
+|titulo1=Ejercicio 7
-|actividad=
+|duracion=14'29"
-<center><iframe>
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_hexagono_1.html
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=n-iLX3qAk0s
-width=780
+}}
-height=460
+{{Video_enlace_abel
-name=myframe
+|titulo1=Ejercicio 8
-</iframe></center>
+|duracion=7'21"
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_hexagono_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+|sinopsis=Problemas sobre ángulos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=o4I7TO5F6bo
-Desliza el punto verde y describe lo que observes.
-*¿A qué otra suma de ángulos equivale la suma de los ángulos del hexágono?
-Mueve el vértice señalado y vuelve a experimentar con el deslizador:
-*¿Cuántas veces 180º suman los ángulos de un hexágono cualquiera?
-Imagina un polígono de n lados. Tomando segmentos desde uno de sus vértices hasta el resto ...
-*¿En cuántos triángulos se podría descomponer el polígono?
-*¿Cuántas veces 180º sumarán los n ángulos de un polígono cualquiera?
-----
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_hexagono_2.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/angulos_poligono_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Observa el hexágono de la figura
-*¿Qué relación hay entre cada uno de sus ángulos (los morados) y los adyacentes (los verdes)?
-*¿Cuánto sumarán los 12 ángulos en total? Desliza el punto verde y describe lo que observes.
-*¿Cuántas veces 180º suman los seis ángulos verdes?
-*Deduce cuántas veces 180º suman los ángulos del hexágono.
-Imagina un polígono de n lados:
-*¿Cuántas veces 180º sumarán los '''n''' ángulos de un polígono cualquiera?
 }}
 }}