Ángulos
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Ángulo
Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. |  |
Tipos de ángulos
- Ángulo nulo
Es el ángulo definido por dos semirrectas que coinciden. No barre ninguna porción del plano.
- Ángulo llano
Cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo
Si es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo
Si es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto
Es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares.
- Ángulo completo
Es el ángulo que abarca todo el plano.
- Ángulo agudo
Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso
Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulo recto.
 Actividad Interactiva: Ángulos
1. Animación que muestra los distintos tipos de ángulos.
Actividad: Pulsa el botón de reproducción para ver la animación: |
Medida de ángulos
Sistema sexagesimal
En este sistema la unidad es el grado sexagesimal y el ángulo completo tiene 360º.El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.
Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal
1. Representación de ángulos.
Actividad: Arrastra los puntos A y B de la escena para obtener los distintos ángulos:
El ángulo se nombra |
siendo O el vértice, y A y B dos puntos en sus lados.
Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").
Operaciones con ángulos
Suma
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal
- Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s ___________________ 4 h 93 min 65 s
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:
4 h 94 min 5 s
De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5 h 34 min 5 s
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Actividad Interactiva: Suma de ángulos
1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Los grados, minutos y segundos superiores corresponden a los del primer sumando y los inferiores a los del segundo sumando. |
Resta
Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal
- En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s ___________________
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s ___________________ 0 h 11 min 25 s
Actividad Interactiva: Resta de ángulos
1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
Multiplicación por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal
- Multiplica 18º 26' 35" por 3.
18º 26' 35"
X 3
_______________
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
Actividad Interactiva: Producto por un número en el sistema sexagesimal
1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
División por un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: División por un número en el sistema sexagesimal
- Divide 66º 45' 36" entre 4.
Actividad Interactiva: División por un número en el sistema sexagesimal
1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Sil pulsas en "pasos" iras viendo el resultado poco a poco. |
Relaciones entre ángulos
Ángulos complementarios y suplementarios
- Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
- Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano).
Actividad Interactiva: Ángulos complementarios y suplementarios
1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.
Actividad: Calcula los ángulos complementario y suplementario de los siguientes:
Realízalo en tu cuaderno y comprueba luego el resultado en las escenas siguientes: |
Propiedades
Propiedades: Relaciones entre ángulos
- Dos ángulos opuestos por el vértice (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
- Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
- Dos ángulos con lados perpendiculares son:
- Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
- Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
En el dibujo de la derecha, el ángulo |  |
es interno y los ángulos 
y 
son sus correspondientes ángulos externos.
Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
- Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.
Podrás comprobar esta propiedad en las siguientes tres escenas. Para ello desliza el punto verde y describe lo que observes. Cambia la posición de los vértices del triángulo y vuelve a deslizar el punto verde:
- ¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo cualquiera? ¿Por qué?
Escena1:
Escena2:
Escena3:
Ángulos en un polígono
Teorema
- La suma de los ángulos interiores de un polígono de
lados es igual a 
.
Las siguientes actividades te ayudarán a comprender el porqué de este teorema.
Actividad Interactiva: Ángulos en un polígono
Actividad 1: Ángulos en un cuadrilátero.
Actividad: Desliza el punto verde y describe lo que observes.
Mueve los vértices y vuelve a experimentar con el deslizador:
Actividad 2: Ángulos en un pentágono
Actividad: Desliza el punto verde y describe lo que observes.
Mueve los vértices y vuelve a experimentar con el deslizador.
Actividad 3: Ángulos en un hexágono y en un polígono cualquiera.
Actividad: Desliza el punto verde y describe lo que observes.
Mueve el vértice señalado y vuelve a experimentar con el deslizador:
Imagina un polígono de n lados. Tomando segmentos desde uno de sus vértices hasta el resto ...
Observa el hexágono de la figura
Imagina un polígono de n lados:
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