Conjuntos
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| Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos. | Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos. | ||
| - | Un '''conjunto''' es una colección de elementos. Un conjunto puede ser, a su vez, considerado como un elemento de otro conjunto. Los elementos de un conjunto, pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras geométricas]], etc. Se dice que un '''elemento''' pertenece al conjunto si está contenido en él. | + | Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito. |
| - | Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: | + | == Definición y notación== |
| + | {{Caja_Amarilla|texto=Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. | ||
| - | <center>A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}</center> | + | Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman '''elementos''' o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo <math> \in </math>. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión <math>a \in A </math> se lee entonces como «''a'' pertenece a ''A''». Para la noción contraria se usa el símbolo <math> \notin </math>. |
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| + | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
| Un conjunto se dice que está definido por '''comprensión''' si se hace mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. | Un conjunto se dice que está definido por '''comprensión''' si se hace mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. | ||
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| Un conjunto se dice que está definido por '''extensión''' si se hace dando la lista de todos sus elementos | Un conjunto se dice que está definido por '''extensión''' si se hace dando la lista de todos sus elementos | ||
| + | Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves. | ||
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| Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ''"ser un número primo menor que 15"'', entonces, el conjunto de los números primos menores que 15 sería: | Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ''"ser un número primo menor que 15"'', entonces, el conjunto de los números primos menores que 15 sería: | ||
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| *Por comprensión: <math>P= \{ n\acute{u}meros~ primos~ merores~ que~ 15 \}</math> | *Por comprensión: <math>P= \{ n\acute{u}meros~ primos~ merores~ que~ 15 \}</math> | ||
| - | Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, Cuando un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: | + | Otra notación habitual para denotar por comprensión es: |
| - | <center><math>S= \{ Lunes,~ Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \}= </math></center> | + | <center><math>A= \{ m / m \in \mathbb{N} y 1 \le m \le 5 \}</math></center> |
| - | <center><math>=\{ Martes,~ Viernes,~ Jueves,~ Lunes,~ Miércoles \}=</math></center> | + | |
| - | <center><math>\{ Lunes,~ Lunes, ~Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \}</math></center> | + | |
| - | Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito. | + | que se lee: "''El conjunto A de los números m tal que m pertenee al conjunto de los números naturales y m es mayor o igual que 1 y menor o igual que 5''". |
| - | == Definición == | + | En estas expresiones los dos puntos ":" significan «tal que». Así, el conjunto. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical "|" u oblicua "/" . |
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.}} | + | |
| + | Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, Cuando un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: | ||
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| + | <center><math>S= \{ a,~ b,~ c,~ d,~ e \}= \{ b,~ d,~ c,~ a,~ e \}=\{ a,~ a, ~b,~ c,~ e,~ d \}</math></center> | ||
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| + | Los conjuntos pueden ser '''finitos''' o '''infinitos'''. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito. | ||
| - | Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman '''elementos''' o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo <math> \in </math>. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión <math>a \in A </math> se lee entonces como «''a'' pertenece a ''A''». Para la noción contraria se usa el símbolo <math> \notin </math>. | ||
| - | === Notación === | ||
| - | [[Archivo:Membership.svg|thumb|280px|'''Relación de pertenencia.''' El conjunto {{math|''A''}} es un conjunto de [[polígono]]s. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.]] | ||
| - | Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''D''}} se usa una [[intención|definición intensiva]] o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos {{math|''B''}} y {{math|''C''}} se usa una [[Extensión (semántica)|definición extensiva]], listando todos sus elementos explícitamente. | ||
| - | Es habitual usar [[paréntesis|llaves]] para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: | ||
| :{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo}|}} | :{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo}|}} | ||
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| :{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa}|}} | :{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa}|}} | ||
| - | Otra notación habitual para denotar por comprensión es: | ||
| - | :{{math|''A'' {{=}} {''m'' : ''m'' es un número natural, y 1 ≤ ''m'' ≤ 5}|}} | ||
| :{{math|''D'' {{=}} {''p'' : ''p'' es un palo de la baraja francesa}|}} | :{{math|''D'' {{=}} {''p'' : ''p'' es un palo de la baraja francesa}|}} | ||
| :{{math|''F'' {{=}} {''n''<sup>2</sup> : ''n'' es un entero y 1 ≤ ''n'' ≤ 10}|}}, | :{{math|''F'' {{=}} {''n''<sup>2</sup> : ''n'' es un entero y 1 ≤ ''n'' ≤ 10}|}}, | ||
| - | En estas expresiones los [[dos puntos]] («:») significan «tal que». Así, el conjunto {{math|''F''}} es el conjunto de «los números de la forma {{math|''n''<sup>2</sup>}} tal que {{math|''n''}} es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros [[cuadrado (álgebra)|cuadrados]] de [[números naturales]]. En lugar de los dos puntos se utiliza también la [[barra vertical]] («|») u [[barra (tipografía)|oblicua]] «/» . | + | |
| === Igualdad de conjuntos === | === Igualdad de conjuntos === | ||
Revisión de 18:22 10 ago 2016
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito.
Tabla de contenidos |
Definición y notación
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo 
. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión 
se lee entonces como «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo 
.
Un conjunto se dice que está definido por comprensión si se hace mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Un conjunto se dice que está definido por extensión si se hace dando la lista de todos sus elementos
Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves.
Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de "ser un número primo menor que 15", entonces, el conjunto de los números primos menores que 15 sería:
- Por extensión:
- Por comprensión:
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
que se lee: "El conjunto A de los números m tal que m pertenee al conjunto de los números naturales y m es mayor o igual que 1 y menor o igual que 5".
En estas expresiones los dos puntos ":" significan «tal que». Así, el conjunto. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical "|" u oblicua "/" .
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, Cuando un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito.
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:
Igualdad de conjuntos
[[Archivo:PersonsSet.svg|thumb|280px|Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, Plantilla:Math, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en Plantilla:Math es irrelevante.]] Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: Plantilla:Definición Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto Plantilla:Math de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que Plantilla:Math, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.
Conjunto vacío
Plantilla:AP El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por Plantilla:Math o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.
Subconjuntos
Plantilla:AP [[Archivo:Subset-2.svg|thumb|280px|Subconjunto. Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math (en particular un subconjunto propio).]] Un subconjunto Plantilla:Math de un conjunto Plantilla:Math, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de Plantilla:Math (o quizá todos): Plantilla:Definición Cuando Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math, se denota como Plantilla:Math y se dice que «Plantilla:Math está contenido en Plantilla:Math». También puede escribirse Plantilla:Math, y decirse que Plantilla:Math es un superconjunto de Plantilla:Math y también «Plantilla:Math contiene a Plantilla:Math» o «Plantilla:Math incluye a Plantilla:Math».
Todo conjunto Plantilla:Math es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de Plantilla:Math es a su vez un elemento de Plantilla:Math». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: Plantilla:Math es un subconjunto propio de Plantilla:Math si es un subconjunto de Plantilla:Math pero no es igual a Plantilla:Math. Se denota como Plantilla:Math, es decir: Plantilla:Math pero Plantilla:Math (y equivalentemente, para un superconjunto propio, Plantilla:Math).<ref group="n">También se utiliza la notación Plantilla:Math y Plantilla:Math, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, Plantilla:Math y Plantilla:Math; o subconjunto propio, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Véase Subconjunto.</ref>
Ejemplos.
- El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
- Plantilla:Math}
- Plantilla:Math}
Conjuntos disjuntos
Plantilla:Ap Dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.
