Conjuntos

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Tabla de contenidos

1 Conjuntos
2 Relaciones entre conjuntos
3 Operaciones con conjuntos

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Conjuntos

Definición y notación

Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

Formas de definir un conjunto

Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: $A=\{\; ......\;\}$

Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.

Ejemplo

Si para los números naturales se considera la propiedad de "ser un número natural menor que 5", entonces, el conjunto de los números naturales menores que 5 sería:

Por extensión: $A= \{ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$
Por comprensión: $A= \{ n\acute{u}meros~ naturales~ merores~ que~ 5 \}$ ó $A= \{ m~ /~ m \in \mathbb{N},~ m < 5 \}$

(En la segunda expresión la barra oblicua "/" significa «tal que». En lugar de la barra oblicua se utiliza también la barra vertical "

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" o los dos puntos ":")

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por $\varnothing$ o simplemente { }.

Conjunto universal

El conjunto universal, que denotaremos por U, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

Relaciones entre conjuntos

Relación de pertenecia

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo $\in$ , si forma parte de él. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión $a \in A$ se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo $\notin$ .

Relación de igualdad

Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como:

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad).

Consecuencias del axioma de extensionalidad

Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, por extensión o por comprensión, y ser el mismo conjunto.
El orden en el que se listan los elementos no se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos.
Un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Si en la lista aparece un elemento repetido es como si sólo apareciese una vez.
Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Ejemplo

Repetir elementos o cambiar el orden no define un conjunto nuevo:

$S= \{ a,~ b,~ c,~ d,~ e \}= \{ b,~ d,~ c,~ a,~ e \}=\{ a,~ a, ~b,~ c,~ e,~ d \}$

Relación de inclusión. Subconjuntos

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. Lo denotaremos $B \subseteq A$ . También puede escribirse $A \supseteq B$ y decirse que B está incluido en A, que A contiene a B, que B está contenido en A, que A incluye a B o que A es un superconjunto de B.
B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A. Lo denotaremos $B \subset A$ o $A \supset B$

Ejemplos

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo: $A \subseteq A$
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
$\{1,~ 3 \} \subset \{ 1,~ 2,~ 3,~ 4 \}$

Conjuntos disjuntos

Plantilla:Ap Dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

Operaciones con conjuntos

Plantilla:Imagen múltiple Plantilla:AP Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

Unión: (símbolo Plantilla:Math) La unión de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, que se representa como Plantilla:Math, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math.
$A\cup B = \{x/x\in A\or x\in B\}$
Intersección: (símbolo Plantilla:Math) La intersección de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math de los elementos comunes a A y B.
$A\cap B=\{x/x\in A \and x\in B\}$
Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto Plantilla:Math con Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math que resulta de eliminar de Plantilla:Math cualquier elemento que esté en Plantilla:Math.
Complemento: El complemento de un conjunto Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math que contiene todos los elementos que no pertenecen a Plantilla:Math, respecto a un conjunto Plantilla:Math que lo contiene.
$A^c=\{x/x\in U\and x\not\in A\}$
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math con todos los elementos que pertenecen, o bien a Plantilla:Math, o bien a Plantilla:Math, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math de todos los pares ordenados Plantilla:Math formados con un primer elemento Plantilla:Math perteneciente a Plantilla:Math, y un segundo elemento Plantilla:Math perteneciente a Plantilla:Math.