Identidades

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Identidad

Una identidad es una expresión algebraica, en forma de igualdad, que es cierta para cualquier valor que le demos a las letras que intervienen.

Identidades notables

Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

Productos notables

Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración:

Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una suma Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración visual de la suma por diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) $(5x-2)^2 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3) \;\!$

Solución:

a) $(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!$

Productos notables

Actividad 1a (Cuadrado de una suma) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Actividad 1b (Cuadrado de una diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Actividad 1c (Suma por diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Autoevaluación 1a Descripción:

Productos notables.

Autoevaluación 1b Descripción:

Productos notables.

Productos notables

Tutorial 1 (9'38") Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2a (1'53") Sinopsis:

Las tres identidades notables.

Tutorial 2b (5'43") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una suma. Ejemplos.

Tutorial 2c (4'29") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una diferencia. Ejemplos.

Tutorial 2d (3'15") Sinopsis:

La identidad notable suma por diferencia. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'48") Sinopsis:

Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
Ejemplos::

a) $(x+3)^2\;$

b) $(2n-7m)^2\;$

Tutorial 3b (6'08") Sinopsis:

Fórmula de la suma por diferencia.
Ejemplos:

a) $(2x+3y)(2x-3y)\;$

b) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;$

c) $(x-a)(x+a)\;$

Tutorial 4 (14'05") Sinopsis:

Como se desarrollan un binomio al cuadrado y una suma por diferencia.

Tutorial 5 (25'26") Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables y ejemplos resueltos.

Ejercicio 1a (8'39") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(2x+3)^2\,$

b) $(3m+2n)^2\,$

c) $(3x^4-5)^2\,$

d) $(5x-\sqrt{7})^2\,$

Ejercicio 1b (9'11") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(4x+7y)(4x-7y)\,$

b) $(\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,$

c) $(2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,$

Ejercicio 2a (2'17") Sinopsis:

Desarrolla: $(3x+5y)^2\,$

Ejercicio 2b (4'23") Sinopsis:

Desarrolla: $(2x^3+9y^4)^2\,$

Ejercicio 2c (1'33") Sinopsis:

Desarrolla: $(7m-3c)^2\,$

Ejercicio 2d (5'44") Sinopsis:

Desarrolla: $(4K^2L-5K^6L^3)^2\,$

Ejercicio 2e (2'01") Sinopsis:

Desarrolla: $(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,$

Ejercicio 3 (5'54") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(x+2)\cdot(x-2)\,$

b) $(x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,$

c) $(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,$

d) $(3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,$

e) $(\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,$

Ejercicio 4a (8'05") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

2a) $(2a-b)(2a+b)\;$

2b) $(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{6}y^2)(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{5}{6}y^2)\;$

2c) $(3x-2y)^2\;$

2d) $(3x+2y)^2\;$

2e) $(x^2+\cfrac{x}{3})(x^2-\cfrac{x}{3})\;$

Ejercicio 4b (4'33") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

4a) $(x-2a)^2\;$

4b) $(x+2a)^2\;$

4c) $(2x+1)^2\;$

4d) $(2x-1)^2\;$

Ejercicio 4c (10'51") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

5a) $(3x+1)^2\;$

5b) $(3x-1)^2\;$

5c) $(2x+3)^2\;$

5d) $(5x^2+3x)^2\;$

5e) $(5x^2-3x)^2\;$

5f) $(x+2)(x-2)\;$

5g) $(3x^2+3)^2\;$

5h) $(x^2+6)(x^2-6)\;$

5i) $(6x-3)(6x+3)\;$

5j) $(2x-\cfrac{1}{2})(2x+\cfrac{1}{2})\;$

5k) $(6x-3)^2\;$

5l) $(6x+3)^2\;$

Ejercicio 5a (5'56") Sinopsis:

Calcula: $(x+3)(x-3)\;$

Ejercicio 5b (7'19") Sinopsis:

Calcula: $(x+7)^2\;$

Ejercicio 5c (2'30") Sinopsis:

Calcula: $(2x+8)(2x-8)\;$

Ejercicio 5d (3'59") Sinopsis:

Calcula: $(7x+10)^2\;$

Ejercicio 5e (8'27") Sinopsis:

Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide $(6x-5y)\;$ .

Ejercicio 5f (10'35") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+9)^2\;$

b) $(x+b)^2\;$

c) $(3x-7)^2\;$

d) $(4x^2+y^2)^2\;$

e) $(2x-1)(2x+1)\;$

f) $(5a-2b)(5a+2b)\;$

Ejercicios 6a (7'50") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+5)^2\;$

b) $(x-5)^2\;$

c) $(x+5)(x-5)\;$

d) $(x+\cfrac{1}{2})^2\;$

e) $(x-\cfrac{1}{2})^2\;$

f) $(x+\cfrac{1}{2})(x-\cfrac{1}{2})\;$

g) $(x+\cfrac{3}{5})^2\;$

h) $(x-\cfrac{3}{5})^2\;$

i) $(x+\cfrac{3}{5})(x-\cfrac{3}{5})\;$

j) $(4x+3)^2\;$

k) $(4x-3)^2\;$

l) $(4x+3)(4x-3)\;$

m) $(2x+\cfrac{1}{3})^2\;$

n) $(2x-\cfrac{1}{3})^2\;$

o) $(2x+\cfrac{1}{3})(2x-\cfrac{1}{3})\;$

p) $(x^3+4)^2\;$

q) $(x^3-4)^2\;$

r) $(x^3+4)(x^3-4)\;$

s) $(6x^2+1)^2\;$

t) $(6x^2-1)^2\;$

u) $(6x^2+1)(6x^2-1)\;$

Otras identidades de interés (para ampliar)

Tutorial 1 (Cubo de un binomio) (12'34") Sinopsis:

Cubo de una suma: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;$
Cubo de una diferencia: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;$

Ejemplos.

Tutorial 1b (Suma y diferencia de cubos) (8'18") Sinopsis:

Suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Ejemplos.

Tutorial 1c (Trinomio al cuadrado) (3'37") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\;$

Ejemplos.

Tutorial 2a (Cubo de una suma) (6'00") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de suma.

Tutorial 2b (Cubo de una diferencia) (5'48") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de diferencia.

Tutorial 2c (Cuadrado de un trinomio) (7'16") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

1a) $(x-y+z)^2\;$

1b) $(2x-3y+z)^2\;$

1c) $(2x+y-z)^2\;$

1d) $(2x+y-2z)^2\;$

1e) $(x-y-1)^2\;$

1f) $(2x+y+2)^2\;$

Ejercicio 2 (10'04") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

3a) $(x^2-2x+3)(x^2-2x+3)\;$

3b) $(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)\;$

3c) $(x^2-4x+2)(x^2-4x+2)\;$

3d) $(x^2+6x-5)(x^2+6x-5)\;$

Ejercicio 3 (18'11") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos:

6a) $(x+y+z)^2\;$

6b) $(x+y+1)^2\;$

6c) $(x-y-1)^2\;$

6d) $(x-y+z+1)^2\;$

6e) $(x-2y+z-1)^2\;$

6f) $(x+3y+z+3)^2\;$

6g) $(x+a)^3\;$

6h) $(2x+1)^3\;$

6i) $(3x+2)^3\;$

6j) $(x-1)^3\;$

6k) $(x-2)^3\;$

6l) $(2x-4)^3\;$

Ejercicios (para ampliar)

Ejercicio 1 (8'42") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=5\;$ y que $a \cdot b = 7\;$ , halla $a^2+b^2\;$ .

b) Sabiendo que $\left(a+\cfrac{1}{a}\right)^2=3\;$ , halla $a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ .

Ejercicio 2 (10'41") Sinopsis:

a) Efectúa: $30001^2-30000^2\;$ .

b) Halla la sexta potencia de $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

c) Sabiendo que $a+b=\sqrt{5}\;$ y que $a \cdot b = 3\;$ , halla $(a-b)^2\;$ .

Ejercicio 3 (5'29") Sinopsis:

a) Reducir: $\cfrac{(3x+4y)^2-(3x-4y)^2}{xy}$ .

b) Efectúa: $(a+2)(a-2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)+64\;$ .

Ejercicio 4 (6'16") Sinopsis:

Halla: $P=\cfrac{(3y)^2}{x^2}+\cfrac{y^3}{x^3}+\cfrac{2x}{y}$ , sabiendo que $\cfrac{yx}{2xy-(x+y)^2}=-\cfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 5 (10'54") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=6\;$ y que $a^2+b^2 = 30\;$ , halla $R=\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{a}\;$ .

b) Si $(a+b+c+d)^2=4(a+b)(c+d)\;$ , calcula $\sqrt[2(a+b)]{4^{c+d}}$

Ejercicio 6 (5'38") Sinopsis:

Hallar $M=a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ sabiendo que $a^2-3a+1=0\;$ .

Productos notables

Actividad: Productos notables

Calcula:

a) $(3x+5)^2 \;\!$

b) $(x-2)(x+2) \;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x+5)^2

b) expand (x-2)*(x+2)

Factorización de polinomios usando identidades notables

Mediante identidades notables podemos transformar un polinomio en un producto de factores.

Ejemplos: Factorización de polinomios usando identidades notables

Factoriza:

a) $4x^2-9 \;\!$

b) $x^2+4x+4 \;\!$

Solución:

a) $4x^2-9=(2x+3)(2x-3) \!$

b) $x^2+4x+4 = (x+2)^2\!$

Actividad: Factorización de polinomios mediante identidades notables

Factoriza:

a) $9x^2-100\!$

b) $25x^2-30x+9\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 9x^2-100

b) factor 25x^2-30x+9

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Identidades"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 ==Identidades notables==
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-*'''Cuadrado de una suma:''' <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2  \;\!</math>
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 ===Factorización de polinomios usando identidades notables===
 Mediante identidades notables podemos transformar un polinomio en un producto de factores.

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