Números racionales: Definición

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Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

  • Una fracción es una expresión de la forma \frac{a}{b}\;, o bien, a/b\;, donde a\; y b\; son números enteros, siendo b \ne 0 \;.
  • Al número a\; lo llamaremos numerador y al número b\;, denominador.



El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

  • Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
  • Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.



El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}

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Actividad: Números racionales


a) Representa el número 7/9 en forma de diagrama de tarta.
b) Representa el número 22/6 en forma de diagrama de tarta.
c) ¿Es -5 un número racional?

Fracciones propias e impropias

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias


    Separa las fracciones propias de las impropias.

Fracción en forma mixta

Una fracción se dice que está en forma mixta si está expreada com suma de un entero y una fracción propia.

ejercicio

Proposición: Expresar una fración impropia en forma mixta


Toda fracción impropia se puede escribir en forma mixta:
\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

ejercicio

Ejemplo: Expresar fracciones impropias en forma mixta


Expresa la frácción impropia \cfrac{35}{8}, en forma mixta.

Calculadora

Calculadora: Fracciones impropias


Para expresar una fracción impropia en forma mixta usaremos la tecla Fracción.

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Actividad: Expresar fracciones en forma mixta


a) Expresa en forma mixta: \cfrac{66}{8}.

Representación de fracciones en la recta numérica

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica


    Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac {3}{5}\, , \ \cfrac {7}{2}\, , \ -\cfrac {8}{3}\, , \ -\cfrac {4}{7}\, , \ \cfrac {1}{10}\, , \ \cfrac {14}{4}

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Actividad: Representación de fracciones en la recta numérica


a) Representa los números 15/6, -2/3, 8/7 y 22/6 en la recta numérica.

Fracciones equivalentes

{Fracciones equivalentes}}

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes


Actividad 1: Busca una fracción equivalente a la dada.
Actividad 2: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).
Actividad 3: Junta las fracciones equivalentes.

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Actividad: Fracciones equivalentes


a) ¿Son equivalentes las fracciones: \cfrac{124}{360} y \cfrac{31}{90}?

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

ejercicio

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones


Actividad 1: Simplifica las fracciones.
Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

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Actividad: Simplicar fracciones


a) Simplifica \cfrac{140}{26}.

Orden en el conjunto de los racionales

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las fracciones:
\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}

ejercicio

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones


Actividad 1: Ordena de menor a mayor estas fracciones.

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Actividad: Ordenar fracciones


a) Ordena de menor a mayor las fracciones: :\cfrac {5}{12} \quad \cfrac{3}{6}\quad \cfrac{5}{8}\quad\cfrac{1}{3}

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Fracciones equivalentes


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

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