Números racionales: Definición

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Tabla de contenidos

1 Fracciones y números racionales
2 Representación de fracciones en la recta numérica
3 Fracciones propias e impropias
4 Fracciones equivalentes
5 Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles
6 Orden en el conjunto de los racionales
7 Ejercicios

Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

Una fracción se expresa de la forma $\cfrac {a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$ , donde $a\;\!$ se llama numerador y $b\;\!$ denominador. El denominador indica las partes iguales en que se divide a la unidad y el numerador las partes que tomamos. El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.

Al conjunto de todas las fracciones también se le llama conjunto de números racionales. Lo representaremos por $\mathbb{Q}$ .

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\quad a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}$

Actividades Interactivas: Fracciones

Actividad 1: ¿Qué fracción representa cada figura?

Actividad:

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Representación de fracciones en la recta numérica

Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica

Actividad 1: Autoevaluación: Averigua la posición de cada fracción en la recta numérica.

Actividad:

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Actividad 2: Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:

a) $\cfrac {3}{5}$ b) $\cfrac {7}{2}$ c) $-\cfrac {8}{3}$ d) $-\cfrac {4}{7}$ e) $\cfrac {1}{10}$ f) $\cfrac {14}{4}$

Actividad:

Compruéba las soluciones en la siguiente escena:

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Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias

Actividad 1: Separa las fracciones propias de las impropias.

Actividad:

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante, podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.

Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.
Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.
Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.

Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor.

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Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Proposición: Transformar una fración impropia en un entero más una fracción propia

Toda fracción impropia $\cfrac{D}{d}$ se puede escribir en la forma $c+\cfrac{r}{d}$ donde $c\;\!$ es el cociente y $r\;\!$ es el resto de la división de $D\;\!$ entre $d\;\!$ .

Demostración:

Basta aplicar el algoritmo de la división:

$D=d \cdot c + r$

y, a continuación, dividir todos los términos por $d\;\!$

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

Ejemplo: Fracciones impropias

Descompón la frácción impropia $\cfrac{35}{8}$ en la suma de un entero y una fracción propia.

Solución:

Dividimos 35 entre 8: $35=4 \cdot 8 + 3$

El dividendo $D=35\;\!$ , el divisor $d=8\;\!$ , el cociente $c=4\;\!$ y el resto $r=3\;\!$ .

Aplicando la proposición anterior:

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

y sustituyendo cada letra por su valor:

$\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}$

Calculadora: Fracciones impropias

Para convertir una fracción impropia en la suma de un número entero y una fracción propia (forma mixta) usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {7}{3}=2+\cfrac{1}{3}$

Procedimiento: $7\;\!$ $3\;\!$ (Para obtener la expresión decimal pulsaremos y para volver a forma fraccionaria usaremos la misma tecla)

Solución: $2 \lnot 1 \lnot 3 \ (= 2.3333)\;\!$

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, $\cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}$

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c$

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes

Actividad 1: Busca una fracción equivalente a la dada.

Actividad:

En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores.

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Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 2: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).

Actividad:

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados.

Multiplicamos sus términos en aspa. El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores. Después, pulsa sobre el triángulo azul para ver paso a paso la comprobación.

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Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 3: Junta las fracciones equivalentes.

Actividad:

Cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba. Colócala junto a ella.

Para ello puedes buscar la fracción irreducible de cada una, o comprobar los productos cruzados de ambas.

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Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad 4: Agrupa las fracciones equivalentes.

Actividad:

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Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones

Actividad 1: Simplifica las fracciones.

Actividad:

Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo número racional.

Por tanto, para expresar un mismo valor nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños. A esa fracción se la llama fracción irreducible porque ya no se la puede simplificar más. Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente.

Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible.

Simplifica (con ayuda):

En esta escena aparece aleatoriamente una fracción, además se indican los divisores comunes del numerador y del denominador.

Abajo debes marcar el número por el que dividirías al numerador y denominador para simplificar esa fracción.

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Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Simplifica (sin ayuda):

Esta actividad es semejante a la anterior, pero en ésta no se da ayuda. Busca un número por el que puedes simplificar esta fracción, márcalo abajo y pulsa intro. Te indicará si con ello has llagado a la fracción irreducible o si todavía puedes seguir simplificando. En ese caso marca otro número. Tienes tres intentos para llegar a la fracción irreducible, pero no puedes rectificar, por eso no utilices los triángulos para cambiar los números marcados.

Si la primera fracción es ya irreducible, marca el 1.

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Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

Actividad:

Nivel 1:

Las fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba. Colócalas juntas.

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Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Nivel 2:

Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta dos cifras.

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Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Nivel 3:

Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta tres cifras.

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Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Orden en el conjunto de los racionales

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Ordenar fracciones

Ordena las fracciones:

$\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}$

Solución:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:

$m.c.m.(5, 4, 10)=20\;\!$ .

Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 20. Para ello dividimos 20 entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Las fracciones obtenidas son:

$\cfrac{3}{5}=\cfrac{12}{20}\ ,\quad\cfrac{2}{4}=\cfrac{10}{20}\ ,\quad\cfrac{7}{10}=\cfrac{14}{20}$