Números reales (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:06 8 sep 2016

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Tabla de contenidos

1 Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos
2 Los números irracionales
- 2.1 Números irracionales famosos
3 Los números reales

"Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

(pág. 32)

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Partimos del conjunto de los números naturales: $\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

$x+3=1\;$

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros: $\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .

Pero este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

$3x=2\;$

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales: $\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b} \ / \ a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$ . Estos números se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

$x^2=2\;$

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:

Demostración:

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{2} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{2} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{2} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=2$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=2 \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.

Ya hemos llegado al absurdo.

Tambián puedes ver la demostración en el siguiente videotutorial:

Demostración de la irracionalidad de la raíz de 2 (11´57") Sinopsis:

Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de 2.

Demostración con un poco de historia. (4´09") Sinopsis:

Videotutorial con la misma demostración que el video e Khan, pero más rápida y con un poco de historia.

Un número secreto (2´49") Sinopsis:

Una breve historia de un número cuyo cuadrado es 2.

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:

¡La de matemáticas que hay en un folio! ¿Sabes de dónde proviene el formato de hojas A4?.

El formarto DIN A:

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos irracionales

Los números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia:

No existe una notación universal para representar al conjunto de los números irracionales, aunque la letra $\mathbb{I}$ es generalmente aceptada. Una de las razones es que el conjunto de números irracionales no constituye estructura algebraica alguna, como ocurre con los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\R$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ). Por otro lado, está el hecho de que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión.

Ejemplos:

Son números irracionales:

La raíces cuadradas no exactas de números enteros como $\sqrt{2} \ , \sqrt{5} \ , \sqrt{7} \, \cdots$
Número famosos como el número pi, el número e o el número de oro $Φ$ :

$\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112..., 8,12112111211112...

Números irracionales

Tutorial (4´57") Sinopsis:

Aquí se habla un poco sobre algunos números extraños. Aunque no son tan extraños tampoco.

Ejercicio 1 (1´44") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \ ; \ \pi \ ; \ 5.0 \ ; \ 0.325 \ ; \ 7.7777... \ ; \ 8 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejercicio 2 (4´05") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$9+\sqrt{45} \ ; \ \cfrac{\sqrt{45}}{3\sqrt{5}} \ ; \ 3\sqrt{9}$

Números irracionales

Actividad Descripción:

Actividades sobre números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Clasifica en números racionales o irracionales.

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ )

¿Es divina la sección áurea? (5'06") Sinopsis:

¡Phi! El número dorado, la proporción divina... ¿Qué hace de éste número algo tan interesante? ¿Es cierto la sección áurea esconde el secreto del universo y la naturaleza? ¿Es mágica la proporción áurea?

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo y el cuerpo humano (1'54") Sinopsis:

La proporción áurea en el mundo que nos rodea y en el cuerpo humano como símbolo de belleza.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ )

¿Qué es Pi? (4'24") Sinopsis:

El número Pi

Historias de pi (25´) Sinopsis:

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "pi" ( $π = 3,141592...$ ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

Actividades

¿Cómo medir Pi? (5'45") Sinopsis:

Distintas formas de obtener aproximaciones del número pi.

Einstein, los rios y el número pi (3'09") Sinopsis:

¿Qué relación hay entre Albert Einstein, los ríos y el famoso número Pi? Hoy en Derivando te lo vamos a explicar. ¡Ah! Y te recomendamos ver este vídeo mientras tomas una taza de té, ya verá cómo lo entiendes mejor.

¿Podemos encontrar El Quijote en los decimales del número Pi? (5'01") Sinopsis:

Una de las constantes matemáticas más importantes que genera fascinantes problemas: el número Pi.

Un truco para aprenderse los 20 primeros dígitos de Pi (3'01") Sinopsis:

Curiosidades de Pi y cómo aprenderse sus decimales.

El número e:

El número e

¿Qué es el número e? (4'12") Sinopsis:

¿Qué tiene el número Pi que no tenga e?

Te explicamos uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes, base de los logaritmos neperianos.

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

Actividades

Los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por los números racionales y los irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

Sin embargo, sigue habiendo ecuaciones, algunas tan sencillas como

$x^2+1=0\;$

que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Esto se solucionará por medio de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La recta real

(pág. 32)

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

Densidad de los números racionales

Los números racionales, al situarlos sobre la recta real, la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica, hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

No obstante, en la recta real hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.

Completitud de los números reales

Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

Ejemplos

Entero o decimal exacto: Vamos intentar representar un número al azar, el 3,24 por ejemplo, buscamos el 3,2 primero, "ampliamos" buscamos el 3,24 y marcamos.

Decimal periódico: Hacemos con la regla una recta oblicua a la primera y que mida un múltiplo del denominador dividimos esta nueva recta en tantas partes como indique el denominador (si el denominador es 6 dividimos en siete partes), unimos sus extremos y trazamos las paralelas.

Radical cuadrático: Podemos representar un radical cuadrático teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras. En el ejemplo, se muestra como se ha representado $\sqrt{13}$

Resto de irracionales: En este caso se toma su expresión aproximada decimal y se afina tanto como se quiera empleando el método mostrado en decimales exactos.

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales

Representación de la raíz de 2 Descripción:

Observa en la escena la representación de $\sqrt{2}$ .

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Representación de otras raíces cuadradas Descripción:

Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.

Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.

Representación de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente los números del tipo $\sqrt{n},~n \in \mathbb{N}$ .

Representación gráfica de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente algunas raíces cuadradas.

Autoevaluación: Representación gráfica de números irracionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre representación gráfica de números irracionales.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Videotutoriales

Los números reales (16´23") Sinopsis:

El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales (tienen un número finito de decimales o son periódicos) y del conjunto de los números irracionales (tienen infinitos decimales y no son periódicos). La "visualización" del conjunto de los números reales es la llamada "recta real": a cada número real le corresponde un único "punto" de la "recta real" y viceversa: cada "punto" de la recta real corresponde a un único número real. Por eso, consideraremos sinónimas las palabras "número" y "punto".

La facultad de abstracción. Historia del cero (2'42") Sinopsis:

Toda abstracción es en sí misma una fuente de contradicciones: su depuración es larga y difícil, pues las ideas siempre tardan en madurar.

Prohibido dividir por cero (5'58") Sinopsis:

Todo cociente de números cuyo denominador sea 0 carece de sentido matemático. De otro modo: si se admite la división por "cero" es el caos, pues entonces 2 = 1. Por eso,si divides por cero, aunque sea sin darte cuenta, serás fusilado de inmediato y expulsado de la comunidad científica por los siglos de los siglos.

La recta real ampliada (8'14") Sinopsis:

Recta real ampliada: conjunto que resulta al añadir los símbolos +∞ y -∞ al conjunto de los reales. Que quede muy claro: +∞ y -∞ no son números, y para todo real "x" es -∞ < x < +∞.

Ejercicios

Actividad: Números reales

a) Representa los números $0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi$ en la recta numérica.

b) ¿Es -5 un número entero?

c) ¿Es 5/3 un número racional?

d) ¿Es pi un numero irracional?

e) ¿Cual es el valor del número de oro?

f) Resuelve la ecuación $x^2-x-1=0\;$

g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) number line 0, 1, 5, golden number, pi

b) is -5 an integer?

c) is 5/3 a rational number?

d) Is pi an irrational number?

e) golden number

f) solve x^2-x-1=0, o bien, solve x^2-x-1=0 over the reals

g) 75 in roman numerals

Ejercicios: Números reales

1. Obtén el valor del número áureo $\phi \,$ teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones $\phi :1 \,$ es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)