Números reales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

     "Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

(pág. 27)

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

  • Partimos del conjunto de los números naturales: \mathbb{N}=\left \lbrace 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace.

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

x+3=1\;

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

  • El conjunto de los números enteros: \mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace.

Pero este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación
3x=2\;

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

  • El conjunto de los números racionales: \mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b} \ / \ a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace. Estos números se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

x^2=2\;

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

ejercicio

Proposición


No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número\sqrt{2} \, no es racional.



Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos irracionales

Los números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra \mathbb{I}.



Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:



El número Pi:

El número e:

El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por los números racionales y los irracionales y se designa por \mathbb{R}.

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

\mbox{Reales } (\mathbb{R})      \begin{cases}         \mbox{Racionales }(\mathbb{Q})          \begin{cases}             \mbox{Enteros } (\mathbb{Z})                  \begin{cases}                     \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\                                \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9}                 \end{cases}\\                        \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2}         \end{cases}\\          \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2}     \end{cases}


Sin embargo, sigue habiendo ecuaciones, algunas tan sencillas como

x^2+1=0\;

que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Esto se solucionará por medio de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La recta real

(pág. 28)

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

  • Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
  • Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
  • Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
  • A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

ejercicio

Densidad de los números racionales


Los números racionales, al situarlos sobre la recta real, la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

  • Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
  • Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica, hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

No obstante, en la recta real hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.

ejercicio

Completitud de los números reales


Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Videotutoriales

Ejercicios

(pág. 28)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Números reales


1. Obtén el valor del número áureo \phi \, teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones \phi :1 \, es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)
Fig.1
Aumentar
Fig.1
2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):
\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}
Fig.2
Aumentar
Fig.2
wolfram

Actividad: Números reales


a) Representa los números 0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi en la recta numérica.
b) ¿Es -5 un número entero?
c) ¿Es -5 un número entero positivo?
d) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?
e) ¿Es pi un numero irracional?
f) ¿Cual es el valor del número de oro?
g) Resuelve la ecuación \frac{x}{a}=\frac{a}{x-a}

Intervalos y semirectas

(pág. 29)

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer:

NOMBRESIMBOLOSIGNIFICADOREPRESENTACIÓN
Intervalo abierto
(a, b)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b.
Imagen:Intervalo abierto.png
Intervalo cerrado
[a, b]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Imagen:Intervalo cerrado.png
Intervalo
semiabierto
(a, b]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Imagen:Intervalo semiabierto 01.png
[a, b)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Imagen:Intervalo semiabierto 02.png
Semirecta
( - \infty , a)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x<a \right \}
Números menores que a.
Imagen:Semirrecta 01.png
( - \infty , a]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le a \right \}
Números menores o iguales que a.
Imagen:Semirrecta 02.png
( a, + \infty )\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a < x \right \}
Números mayores que a.
Imagen:Semirrecta 03.png
[ a, + \infty )\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \right \}
Números mayores o iguales que a.
Imagen:Semirrecta 04.png

La recta real se representa en forma de intervalo:\mathbb{R}=( - \infty, + \infty )

ejercicio

Ejercicios resueltos: Intervalos y semirectas


1. Representar los siguientes conjuntos numéricos:
a) Números mayores que 3.
b) \left \{ x \in \mathbb{R} \ / 2 \le x<5 \right \}
c) \left \{ x \in \mathbb{R} \ / 3 \le x \le 7 \right \}
d) Números menores que 1 excluyendo el 0.
e)\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x^2 \ge 4 \right \} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le 2 \right \} \cup \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \ge 2 \right \}

Videotutoriales

Ejercicios

(pág. 29)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Intervalos y semirectas


3. Representa los siguientes conjuntos:

a) \left ( -3, -1 \right )
b) \left [ 4, +\infty \right )
c) \left ( 3, 9 \right ]
d) \left ( -\infty, 0 \right )

4. Representa los siguientes conjuntos:

a) \left \{ x \in \mathbb{R} \ / -2 \le x<5 \right \}
b) \left [ -2, 5 \right ) \cup \left ( 5, 7 \right ]
c) \left (-\infty , 0 \right ) \cup \left (3, +\infty \right )
d) \left (-\infty , 1 \right ) \cup \left (1, +\infty \right )
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