Plantilla:Perímetros y áreas

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-==Cuadrado==+==Introducción==
 +Un toque divertido para empezar el tema:
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-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del círculo "pelándolo".+
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-:b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.+
-:c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 <math>\pi</math> m.+
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
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===Corona circular=== ===Corona circular===
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-* '''Perímetro:'''{{p}}+
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-:El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.+
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-|enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente. 
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-<center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center> 
-<center>(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)</center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-:a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m. 
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- 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
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-:a) {{consulta|texto=annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area}} 
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===Sector circular=== ===Sector circular===
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-[[Imagen:sector.png|160px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
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-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}}+
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-* '''Elementos:'''+
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-* '''Nota:'''+
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-:El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.+
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-La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres. +
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- +
-<center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando el área del sector:+
- +
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- +
- +
-de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
- +
- +
-Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.+
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando la longitud del sector:+
- +
-<center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
-----+
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-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo=+===Elipse===
-{{ai_cuerpo+{{Area elipse}}
-|enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.+
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
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-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center>+
-<center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-{{wolfram desplegable|titulo=El sector circular|contenido=+===Segmento de parábola===
-{{wolfram+{{Area segmento parabola}}
-|titulo=Actividad: ''El sector circular''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
-:b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
- +
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Ejercicios y videotutoriales==
- +{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, area}}+
-:b) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

Figuras poligonales

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Romboide

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón


La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados oblicuos.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Área del trapecio


Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

Figuras curvas

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Sector circular

  • Longitud del arco:

l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta

  • Perímetro:

P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
\theta\;\!: ángulo \alpha\; (en radianes).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Elipse

 

  • Perímetro:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

  • Área:

A=\pi a b\;

  • Elementos:
a\;: semieje mayor.
b\;: semieje menor.
  • Notas:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Segmento de parábola

  • Área:

A=\cfrac{2}{3} \,a \, b

  • Elementos:
a \, , b\;: Lados del rectángulo circunscrito.

Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda