Polinomios

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Tabla de contenidos

1 Polinomios
2 Operaciones con polinomios

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por un monomio o por la suma de varios monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomio; si tiene cuatro cuatrinomio etc.
Un polinomio se dice que es nulo si todos los monomios que lo componen tienen coeficiente cero.
Un polinomio está dado en forma reducida si en su expresión no aparecen monomios semejantes, ni nulos.
Se llama grado de un polinomio no nulo, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida. Un polinomio nulo tiene grado cero.

Elementos y grado de un polinomio

Notación:

Para nombrar un polinomio usaremos una letra mayúscula (lo normal es usar las letras: P, Q, R, S, ...) seguida de las variables que forman parte del polinomio, entre paréntesis.

Por ejemplo:

$P(x)=x^2+2x-1\;$
$Q(x,y)=-\cfrac{1}{4}\,x^2y^3 -2x +y-3\;$

Ejemplos:

a) El polinomio $P(x,y)=2x^2y+5x^2-1 \;\!$ está en forma reducida y es un trinomio de grado 3.

b) El polinomio $P(x)=2x^2+5x^2-x+1 \;\!$ no está en forma reducida. Su forma reducida es $7x^2-x+1 \;\!$ . Es de grado 2.

c) Los polinomios constantes, como por ejemplo $P(x)=5\;$ , tienen grado 1. Sin embargo, el polinomio nulo, $Q(x)=0\;$ , tiene grado cero.

d) Los polinomios $P(x,y)=5x^2-xy+1 \;\!$ y $Q(x,y)=3x^2-2xy-4 \;\!$ son semejantes.

e) Los polinomios $P(x)=5x^2-x+1 \;\!$ y $Q(x)=1-2x+5x^2+x \;\!$ son iguales, porque al reducir el segundo y reordenar sus monomios, queda igual al primero.

Polinomios: Elementos, tipos y grado

Tutorial 1 (18'29") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan las definiciones básicas del álgebra: expresión algebraica, monomios, polinomios, grado, término independiente, coeficientes...

Tutorial 2 (11'43") Sinopsis:

Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.

Tutorial 3 (0'54") Sinopsis:

Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.

Tutorial 4 (8'22") Sinopsis:

Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un polinomio.

Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.

Tutorial 5 (9'31") Sinopsis:

Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un monomio y de un polinomio.

Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.

Tutorial 6a (7'58") Sinopsis:

Polinomios: términos y tipos de polinomios. Polinomios nulos.

Tutorial 6b (10'41") Sinopsis:

Forma reducida de un polinomio. Grado. Polinomios iguales y semejantes.

Tutorial 6c (8'50") Sinopsis:

Polinomios ordenados, completos / incompletos, homogéneos / heterogéneos.
Valor numérico de un polinomio.

Tutorial 7 (3'10") Sinopsis:

Polinomios. Monomios. Grado y término independiente de un polinomio.

Ejercicio 1 (10'15") Sinopsis:

1) Indica de qué tipo son los polinomios siguientes, atendiendo al número de términos que tienen:

a) $2x^2+5x+6\;$

b) $3x\;$

c) $52x^2+25\;$

d) $6x^2-3xy-4\;$

e) $5\;$

f) $2x+6\;$

2) Expresa en forma reducida los siguientes polinomios:

a) $2x^2+5x-3x^2+6x^2-5+3x\;$

b) $4x+6x-2x^2-3+5x^2\;$

c) $6x-3+2x^2+4x+2-5x^2\;$

d) $8x+3x^2-2-5x^2+x^3-2x+1+4x^2\;$

Ejercicio 2 (13'20") Sinopsis:

3) Indica el grado de cada polinomio:

a) $2x^2+5x+3\;$ ; b) $2x-1\;$ ; c) $3x^3-2x+1\;$

d) $2\;$ ; e) $4x\;$ ; f) $5-4x+6x^3-x\;$

g) $3x-2x^3\;$ ; h) $0x+3\;$ ; i) $0x\;$

4) Indica cuáles de estos polinomios son iguales:

a) $2x^2+3x-2\;$ ; b) $2x-7\;$ ; c) $7x^3+2x+3\;$ ; d) $2x^2-3x+2\;$

e) $-2x+7\;$ ; f) $-2+2x^2+3x\;$ ; g) $2x+7x^3+3\;$ ; h) $7-2x\;$

i) $2x^2-2+3x\;$ ; j) $-7+2x\;$ ; k) $3+7x^3+2x\;$ ; l) $-3x+2x^2+2\;$

5) Indica cuáles de estos polinomios son semejantes entre sí:

a) $2x^3+2x-5\;$ ; b) $5x^4+5x^2+5x\;$ ; c) $-5x^2-2x+3\;$

d) $-7x^3+3x+3\;$ ; e) $7x+6\;$ ; f) $6x^4-6x^2+5\;$

g) $6x^2+4x-1\;$ ; h) $-3x-2\;$

Ejercicio 3 (11'49") Sinopsis:

6) Ordena, tanto de forma creciente como decreciente, e indica el grado de los siguientes polinomios:

a) $2x-3x^4+2-6x^2\;$

b) $-7x-5x^5+92x^2-4x^4+2x^3+1\;$

c) $4x^2+6x^3-5-2x+6x^4\;$

d) $7x^3+3-5x+6x^2\;$

e) $2+3x^2\;$

f) $5x-7\;$

Ejercicio 4 (5'13") Sinopsis:

7) Clasificar polinomios en homogéneos/heterogéneos.

a) $4x^2+2xy\;$

b) $2xy+5x-6\;$

c) $5x^4+2x^2y^2\;$

d) $3x^2y-2y^3+2x\;$

e) $6x^3y^2+5y^3x^2+1\;$

f) $6x^3y^2+5y^3x^2\;$

5 x 3 - 6 y 3

Ejercicio 5 (2'46") Sinopsis:

Dado el polinomio $3x^2-8x+7\;$ , identifica sus términos junto con el coeficiente y exponente de cada uno de ellos.

Ejercicio 6 (2'03") Sinopsis:

Escribe un polinomio que exprese el valor de "p" billetes de 20 pesos, "q" monedas de 10 pesos y "r" monedas de 5 pesos.

Polinomios

Actividad 1 Descripción:

Elementos y grado de un polinomio.

Actividad 2 Descripción:

Expresiones algebraicas: monomios y polinomios.

Actividad en la que deberás encontrar la expresión polinómica adecuada para cada situación.
Actividad en la que deberás construir un polinomio conocida cierta información sobre su grado y los coeficientes de sus términos.

Actividad 3 Descripción:

Actividad en la que deberás encontrar el valor de algún coeficiente de un polinomio.
Actividad en la que aprenderás a escribir polinomios en su forma usual.
Actividad en la que deberás decir cual es el coeficiente de cada grado de un polinomio.

Actividad 4 Descripción:

Actividad sobre polinomios.

Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, sumaremos o restaremos los monomios semejantes de ambos.

Ejemplos: Suma y resta de polinomios

Calcula:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

Solución:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4+3x^3+2x^2+5 \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4-7x^3+4x^2-4x+5 \;\!$

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Ejemplo: Producto de un monomio por un polinomio

Calcula el producto: $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 \;\!$

Solución:

$(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 = 8x^6-4x^5+6x^4-4x^3+10x^2 \;\!$

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de sus factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos.

Ejemplo: Producto de polinomios

Calcula el producto: $(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3)\;\!$

Solución:

$(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3) = 4x^4-6x^3-6x^3+9x^2+2x-3=4x^4-12x^3+9x^2+2x-3 \;\!$

Operaciones con polinomios

Actividad: Operaciones con polinomios

Haz las siguientes operaciones con polinomios:

a) $(3x^3-5x^2-3x+2)+(x^3-4x-1)-(2x^2-x-2)\!$

b) $(3x^3-5x^2-3x+2) \cdot 2x^2\!$

c) $(2x^2+2x-3) \cdot (2x-5)\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x^3-5x^2-3x+2)+(x^3-4x-1)-(2x^2-x-2) b) expand (3x^3-5x^2-3x+2)*2x^2 c) expand (2x^2+2x-3)*(2x-5)

Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso: