Potencias

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-==Potencias de naturales==+{{Potencias de números naturales}}
-{{Caja Amarilla|texto=+
-Una potencia de '''base''' <math>a\;\!</math> y '''exponente''' <math>n\;\!</math> consiste en multiplicar <math>n\;\!</math> veces la base <math>a\;\!</math>.+
-<center><math>a^n =a \cdot a \cdots a\;\!</math></center>}}+
-{{p}}+
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-Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.+
- +
-En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:+
- +
-* La '''base''' es el número que se multiplica por sí mismo+
-* El '''exponente''' es el número que indica las veces que la base aparece como factor.+
- +
-Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño. +
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-Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia". +
- +
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Potencia de un número natural.+
-|actividad=+
-Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.+
-{{p}}+
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/definic_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:+
- +
-:a) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 0 sea cual sea el exponente?+
-:b) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1 sea cual sea el exponente?+
-:c) ¿Qué valor tienen las potencias de cualquier base cuando su exponente es el número 0 ?+
-:d) ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1 ?+
- +
-Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base+
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-}}+
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-===Propiedades de las potencias de naturales===+
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-</center>+
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-<center><math>(a^n \cdot b^n)=(a \cdot b)^n</math>{{b}}{{b}}<math>\cfrac{a^n}{b^n}=\left ( \frac{a}{b} \right )^n\,\!</math>+
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedades de las potencias''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Propiedades de las potencias de números naturales.+
-|actividad=+
-En las siguientes escenas, para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.+
-{{p}}+
-* '''Producto de potencias de la misma base:'''+
- +
-El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.+
- +
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/producto_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Cociente de potencias de la misma base:'''+
- +
-El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes.+
- +
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/cociente_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Potencia de exponente 0:'''+
- +
-Sigue actuando sobre la escena anterior, haz que los dos exponentes sean iguales, ello dará como resultado una potencia de exponente 0. Observa el valor de esa potencia.+
- +
-Habrás descubierto que: Una potencia de exponente 0 vale 1.+
- +
-* '''Potencia de una potencia:'''+
- +
-La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.+
- +
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-height=350+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/potpot_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Potencia de un producto:'''+
- +
-La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.+
- +
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/potprod_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2.''' Autoevaluación.+
-|actividad=+
-En las siguientes escenas rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final.+
-Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número. +
- +
-* '''Elementos de una potencia:'''+
- +
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Operaciones con potencias de la misma base:'''+
- +
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-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_2.html+
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-height=250+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Asocia los resultados de estas potencias:'''+
- +
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Revisión de 08:09 15 ene 2009

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Indice
Descartes
Manual Casio
Potencias
Potencias y Raíces I
Potencias y raíces II 		WIRIS
Geogebra
Calculadora

Tabla de contenidos

Potencias de números naturales

Antes de empezar     Descripción:

Bits, bytes, megas y más.

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

nota
Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.
bartolomecossio.com

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

ejercicio
Ejemplo:

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Imagen:familia.gif

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre): 2^1=2\; padres.

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2 \cdot 2 = 2^2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16 tatarabuelos.

Ejemplo sacado de: Proyecto Descartes

video
Potencias de números naturales
Tutorial 1 (6'59")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 2 (1'32")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 3 (4'11")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'49")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 5a (9'04")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos

Tutorial 5b (3'45")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente cero. Ejemplos

Tutorial 6 (3'47")     Sinopsis:

Potencias de números naturales. Ejemplos

Ejemplos (9'14")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

video
Potencias de números naturales
Actividad 1     Descripción:
Actividad 2     Descripción:

Practica con las potencias de números naturales.

Actividad 3a     Descripción:

Introducción a las potencias.

Actividad 3b     Descripción:

Elevar números al cuadrado.

Actividad 3c     Descripción:

Repaso de potencias.

Actividad 4     Descripción:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Actividades:

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

  1. ¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0, sea cual sea el exponente?
  2. ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1, sea cual sea el exponente?
  3. ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1, sea cual sea la base?
  4. Calcula 100, 101, 102, 103, 104.
  5. Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales.
  6. Las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales.
Autoevaluación 1     Descripción:

Potencias de números naturales (I)

Autoevaluación 2a     Descripción:

Potencias (básico)

Autoevaluación 2b     Descripción:

Potencias

Autoevaluación 3     Descripción:
Autoevaluación 4     Descripción:

Elementos de una potencia:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Autoevaluación 5     Descripción:

Expresa productos de números como potencias.

Autoevaluación 6     Descripción:
Asocia los resultados de estas potencias:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Problema     Descripción:

Ana tiene 5 cajas de bombones. cada caja tiene 5 filas de bombones y cada fila tiene 5 bombones. ¿Cuántos bombones tiene Ana en total?

wolfram
Potencias de números naturales
wolfram

Actividad: Potencias

Calcula:

a) 3^5\;.
b) 100^0\;.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) 3^5
b) 100^0

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4^3}{2^4}


  • Procedimiento: 4\;\! Elevado a 3\;\! División 2\;\! Elevado a 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio
Ejemplos:
  • Producto de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}


  • Cociente de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \  : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}


  • Potencia de un producto:
(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216

2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de un cociente:
(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de otra potencia:

(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}


  • Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que a^0 = 1\; por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1

video
Propiedades de las operaciones con potencias
Tutorial 1 (8'12")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20")     Sinopsis:
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
  • Potencia de otra potencia.
  • Ejemplos.
Producto de potencias de la misma base (4'26")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32")     Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28")     Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 2 (3'40")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 3 (3'37")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 5 (2'47")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Actividades

video
Operaciones con potencias de números naturales
Actividad     Descripción:

Ejercicios con potencias de números naturales.

Juegos     Descripción:

Potencias de enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Ejemplos: 
Click aquí si no se ve bien la escena

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de números enteros

Actividad 1. Potencias de base negativa.
Actividad:
Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) ( − 3)4 b) ( − 4)5 c) ( − 10)5 d) ( − 2)10

Click aquí si no se ve bien la escena

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Potencias de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Ejemplos: 
Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

Click aquí si no se ve bien la escena

Click aquí si no se ve bien la escena

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea n \in \mathbb{N}, se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}

Como consecuencia, \left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}.

Ejemplos: 
Click aquí si no se ve bien la escena

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo

Actividad 1. Potencias de exponente negativo.
Actividad:
Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) 3 − 5 b) 5 − 3 c) 7 − 2 d) 2 − 7

Click aquí si no se ve bien la escena

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.
Actividad 2. Autoevaluación.
Actividad:
Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.
Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios

ejercicio

Actividad Interactiva: Operaciones con potencias

Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.
Actividad:
Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

ejercicio

Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias

Actividad 1: Producto de potencias.
Actividad:
Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:

a)\ 2^3 \cdot 2^7 \quad b)\ 3^5 \cdot 3^3 \quad c)\ 5^5 \cdot 5^3 \quad d)\ 2^{-3} \cdot 2^5 \quad e)\ 3^{-5} \cdot 3^{-3} \quad f)\ 5^{-5} \cdot 5^3
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: Cociente de potencias.
Actividad:
Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:

a)\ \frac{2^7}{2^3} \quad b)\ \frac{3^5}{3^3} \quad c)\ \frac{5^3}{5^3} \quad d)\ \frac{2^7}{2^{-3}} \quad e)\ \frac{3^{-2}}{3^2} \quad f)\ \frac{5^{-4}}{5^{-3}}
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 3: Potencia de un producto.
Actividad:
Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:

a)\ (2 \cdot 5)^6 \quad b)\ (3 \cdot 4)^2 \quad c)\ (2 \cdot 8)^3 \quad d)\ (4 \cdot 6)^4 \quad e)\ (2 \cdot 5)^{-2} \quad f)\ (3 \cdot 2)^{-3} \quad g)\ (2 \cdot 5)^{-3}
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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Actividad 4: Potencia de un cociente.
Actividad:
Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:

a)\ \left( \frac{8}{2} \right )^6 \quad b)\ \left( \frac{8}{4} \right )^2 \quad c)\ \left( \frac{10}{5} \right )^3 \quad d)\ \left( \frac{8}{4} \right )^{-2} \quad e)\ \left( \frac{10}{5} \right )^{-3} \quad f)\ \left( \frac{9}{3} \right )^{-4}
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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Actividad 5: Potencia de una potencia.
Actividad:
Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:

a)\ (2^3)^7 \quad b)\ (3^5)^3 \quad c)\ (5^5)^3 \quad d)\ (2^{-3})^2 \quad e)\ (3^3)^{-2} \quad f)\ (5^{-2})^{-3}
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Juegos.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena
ejercicio

Ejercicios: Potencias de naturales

1. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

Solución:
a) x^{10}\,\! b) x^9\,\! c) x^{15}\,\!

2. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

Solución:
a) 3^3\,\! b) 5^2\,\! c) 2^2 \cdot 5^2
ejercicio

Ejercicios: Potencias de enteros

1. Calcula:

a) (-2)^3 \,\! b) -2^4 \,\! c) (-2)^6 \,\! d) (-1)^{10} \,\! e) (-1)^{11}\,\! f) -2^0 \,\!

Solución:
a) -8 b) -16 c) 64 d) 1 e) -1 f) -1
ejercicio

Ejercicios: Potencias de fracciones

1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) \cfrac{-5^2}{5^5} b) \cfrac{0,001}{10^2} c) \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}

Solución:
a) -\cfrac{1}{125} b) \cfrac {1}{100.000} c) \cfrac{a^2}{b}

2. Simplifica:

a) \left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3 b) \left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2 c) \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}

Solución:
a) -\cfrac{1}{125} b) 81 \;\! c) -\cfrac{1}{3}

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}


Solución:
a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2}= \frac{(2.3)^3.(2^3)^4}{1.3^3.2^6}= \frac{2^3.3^3.2^{12}}{3^3.2^6}= \frac{2^{15}.3^3}{3^3.2^6}=2^9


b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4}= \frac{(5^2)^3.3^{-2}}{(3.5)^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3^4.5^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3.5^8}= 5^{-2}.3^{-3}= \frac{1}{5^2.3^3}

c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}= \frac{(2.5)^3.2^4.5^2}{2^2.5^2.2^3.5^2}= \frac{2^7.5^5}{2^5.5^4}=2^2.5
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