Potencias de fracciones (2º ESO)

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Revisión de 16:42 1 sep 2017

Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}$

Como consecuencia:

Propiedad

$\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)$

Ejemplos:

Potencias de exponente negativo

Tutorial 1 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52") Sinopsis:

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22") Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39") Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $4^{-3} \cdot 4^5\;$

b) $a^{-4} \cdot a^2\;$

c) $\cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;$

d) $\cfrac{x^{-20}}{x^5}\;$

Ejercicio 2 (5'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;$

b) $(a^{-2} \cdot 8^7)^2\;$

c) $\left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Halla el valor de:

11) $100^{-1}\;$ ; 12) $100^{-3}\;$ ; 13) $10^{-4}\;$ ; 14) $(10^{-3})^{-1}\;$

15) $(-3)^{-2}\;$ ; 16) $2^{-1}\;$ ; 17) $\left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\;$ ; 18) $\left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\;$ ; 19) $\left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;$

Potencias de exponente negativo

Actividad 1 Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3^{-5}\;$ b) $5^{-3}\;$ c) $7^{-2}\;$ d) $2^{-7}\;$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Ejemplos:

Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

Click aquí si no se ve bien la escena

Propiedades de las potencias de números racionales

Tutorial 1 (27'46") Sinopsis:

Tutorial muy completo que explica las propiedades básicas de las potencias con ejemplos resueltos sencillos y alguno más complejo.

Tutorial 2 (11'54") Sinopsis:

Potencias de exponente entero de números racionales.
Propiedades.
Ejemplos

Tutorial 3a (6'20") Sinopsis:

Producto de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3b (6'01") Sinopsis:

Cociente de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3c (4'56") Sinopsis:

Potencia de otra potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 3d (6'08") Sinopsis:

Potencia de un producto de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 4a (3'00") Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base: $a^n \cdot a^m=a^{m+n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4b (2'32") Sinopsis:

Cociente de potencias de la misma base: $a^n : a^m=a^{m-n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4c (1'58") Sinopsis:

Potencia de otra potencia: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4d (2'48") Sinopsis:

Potencia de un producto: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4e (2'48") Sinopsis:

Potencia de un cociente: $\left( \cfrac{a}{b} \right)^n = \cfrac{a^n}{b^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 5a (8'12") Sinopsis:

Potencias de exponente 1 y 0.
Producto y cociente de potencias de la misma base.
Potencia de un producto y de un cociente.
Potencia de otra potencia.
Ejemplos.

Tutorial 5b (6'26") Sinopsis:

Potencias de base negativa.
Potencias de exponente negativo.
Ejemplos.

Ejemplos 1 (5'40") Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente positivo.

Ejemplos 2 (3'35") Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente negativo.

Ejemplos 3 (6'55") Sinopsis:

Simplificaciones de operaciones con potencias.

Cálculos con potencias de fracciones:

Ejercicio 1 (10'49") Sinopsis:

Calcula:

20) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^9$ ; 21) $\left( \cfrac{-3~}{2} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^3$ ; 22) $\left( \cfrac{3}{5} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2}$

23) $\left( \cfrac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3}$ ; 24) $\left( \cfrac{1}{4} \right)^5 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3}$ ; 25) $\left( \cfrac{2}{3} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-3}$

26) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-4} \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^8$ ; 27) $\left( \cfrac{2}{13} \right)^{-7} \cdot \left( \cfrac{2}{13} \right)^9$ ; 28) $\left( \cfrac{1}{9} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{1}{9} \right)^{-6}$

Ejercicio 2 (8'36") Sinopsis:

Calcula:

29) $\left( \cfrac{3}{4} \right)^3 : \left( \cfrac{3}{4} \right)^2$ ; 30) $\left( \cfrac{4}{3} \right)^{-2} : \left( \cfrac{4}{3} \right)^4$ ; 31) $\left( \cfrac{3}{7} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^4$

32) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{2}{5} \right)^6$ ; 33) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-5} : \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-3}$ ; 34) $\left( \cfrac{-1~}{7} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^{-3}$

Ejercicio 3 (10'26") Sinopsis:

Calcula:

35) $\left[ \left( \cfrac{-3~}{7} \right)^2 \right]^3$ ; 36) $\left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^3 \right]^5$ ; 37) $\left[ \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 \right]^4$

38) $\left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 \right]^2$ ; 39) $\left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-2} \right]^{-3}$ ; 40) $\left[ \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} \right]^{-7}$

41) $\left[ \left( \cfrac{-3~}{4} \right)^{-2} \right]^{-5}$ ; 42) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^3 \right]^{-2}$ ; 43) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^{-1} \right]^3$

44) $\left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} \right]^{-2}$ ; 45) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \right]^{-2}$ ; 46) $\left[ \left( \cfrac{-1~}{8} \right)^{-2} \right]^{-3}$

Ejercicio 4 (5'28") Sinopsis:

Escribe como varias potencias:

47) $\left( \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{5}\right)^2$

48) $\left( \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{25} \cdot \cfrac{5}{9}\right)^3$

49) $\left( \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{5}{7} \cdot \cfrac{8}{6}\right)^3$

50) $\left[ \cfrac{1}{3} \cdot \left( \cfrac{-2~}{5} \right) \cdot \left( \cfrac{-2~}{2} \right) \right]^2$

51) $\left[ \cfrac{2}{3} \cdot \left( \cfrac{-5~}{4} \right) \cdot \cfrac{8}{5} \cdot \left( \cfrac{-5~}{2} \right) \right]^{-3}$

Ejercicio 5 (13'54") Sinopsis:

Escribe como una sola potencia:

52) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{9}{11} \right)^2$

53) $\left( \cfrac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{5}{6} \right)^3$

55) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^2$

56) $\left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{1}{3} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^{-3}$

57) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{3}{4} \right)^{-2}$

58) $\left( \cfrac{2}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{5}{7} \right)^{-1}$

Ejercicio 6 (9'43") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3$

b) $\left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}$

Ejercicio 7 (4'05") Sinopsis:

Simplifica $\cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}$

Ejercicio 8 (2'08") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2$

Cálculos con potencias dentro de fracciones:

Ejercicio 1 (10'23") Sinopsis:

Calcula:

59) $\cfrac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3}{3^4}\;$

60) $\cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-5}}\;$

61) $\cfrac{2 \cdot 2^{-3}}{2^{-2}}\;$

62) $\cfrac{(-2)^{-3} \cdot (-2)^5 \cdot (-2)}{(-2)^{-1} \cdot (-2)^3}\;$

Ejercicio 2 (7'23") Sinopsis:

Calcula:

63) $\cfrac{2^2 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^{-1}}\;$

64) $\cfrac{6^{-1} \cdot (6^5)^2}{6^2 \cdot 6^3}\;$

65) $\cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-4}}\;$

66) $\cfrac{(-3)^{-2} \cdot (-3)^{-3}}{\left[ (-3)^2 \right]^{-2}}\;$

Ejercicio 3 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 5 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Ejercicio 7 (17'31") Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) $\cfrac{9^3 \cdot 27}{81}$

b) $(27^3 \cdot 9^{-1}) : (81 \cdot 9^3)^{-2}$

c) $\cfrac{16 \cdot 8^6 \cdot 2^{-3}}{(2^{-1})^{-3} \cdot 4}$

d) $6^4 \cdot 12 \cdot 9^2$

e) a) $\cfrac{5^2 \cdot (10^3)^2 \cdot 2^{-2}}{40^{-2} \cdot 10 \cdot 25}$

Ejercicio 8 (14'41") Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) $4^4 \cdot 15^4 :6^4$

b) $7^3 \cdot 2^{12}$

c) $6^6 : 2^6 \cdot 81$

d) $10^8 : (8^2 \cdot 2^2)$

e) $6^6 \cdot 8^4 : 9^3$

f) $\cfrac{4^6 \cdot 9^3}{12^5}$

Ejercicio 9 (11'39") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{9^3 \cdot 3^6 \cdot 81^2}{27^5 \cdot 3^2}$

b) $\cfrac{15^6 \cdot 12^4}{10^5 \cdot 3^6 \cdot 81}$

Ejercicio 10 (13'13") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{5^{13} \cdot 5^{17}}{5^{11} \cdot 5^{16} \cdot 5^1}$

b) $\cfrac{(-4)^6 \cdot (-4)^5 \cdot (-4)^{20} \cdot (-4)^3}{(-4)^8 \cdot (-4)^{19} \cdot (-4)^4}$

c) $\left[ \cfrac{( 2^3 \cdot 2^6)^{-2} \cdot (3^4)^3 \cdot 3 }{( 2^6 \cdot 2^{10})^{-1}\cdot (3^6 \cdot 3^2 \cdot 3^5)}\right]^{10}$

Cálculos de diversos tipos:

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Exponente positivo:

a) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^3$ ; b) $\left( \cfrac{-3}{7} \right)^2$ ; c) $\left( \cfrac{-5}{3} \right)^3$ ; d) $\cfrac{4^3}{3}$ ; e) $-\cfrac{5^2}{8}$

Exponente negativo:

f) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3}$ ; g) $\left( -\cfrac{3}{7} \right)^{-2}$ ; h) $\left( \cfrac{-5}{3} \right)^{-3}$ ; i) $4^{-3}\;$ ; j) $-\cfrac{2^{-3}}{3}$

Operaciones combinadas:

k) $\cfrac{5^2}{3} \cdot \left( \cfrac{4}{18} \right)^{-1} : 5$ ; l) $\cfrac{6}{10} \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{5}{2} \right)^2 \cdot 2^{-1}$

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4$ b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3$ c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3$ d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2$ e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2$

Solución:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}$

c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}$

e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias_de_fracciones_%282%C2%BA_ESO%29"

 {{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Potencias de fracciones''|enunciado=Calcula simplificando:
-a)<math>\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4</math>
+a) <math>\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2</math>
 |sol=
 a)<math>\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}</math>
+----
+b)<math>\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}</math>
+----
+c)<math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}</math>
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+----
+e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}</math>
 }}

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