Problemas clásicos (3ºESO Académicas)

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==Repartos proporcionales== ==Repartos proporcionales==
-{{Caja_Amarilla|texto=En los '''repartos proporcionales''' tenemos que repartir una cantidad en varias partes, de manera que cada parte sea proporcional a cada fracción en que se parte el total.}}+{{Repartos proporcionales}}
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejercicio resuelto: ''Repartos proporcionales''+
-|enunciado={{p}}+
-:Tres grifos aportan 2 l/s, 5 l/s y 7l/s, respectivamente. Se abren los tres simultaneamente para llenar una balsa de 17080 l. Cuando la balsa está llena, ¿qué volumen de agua habrá manado de cada grifo?+
-{{p}}+
-|sol=+
-:Los tres grifos aportan <math> 2+5+7=14 \ l/s</math>, de manera que:+
- +
-:El primero aporta <math>\cfrac{2}{14}\;</math> del total <math>\rightarrow \cfrac{2}{14} \cdot 17080 = 2440 \ l</math>+
- +
-:El segundo aporta <math>\cfrac{5}{14}\;</math> del total <math>\rightarrow \cfrac{5}{14} \cdot 17080 = 6100 \ l</math>+
- +
-:El tercero aporta <math>\cfrac{7}{14}\;</math> del total <math>\rightarrow \cfrac{7}{14} \cdot 17080 = 8540 \ l</math>+
- +
-}}+
{{p}} {{p}}
{{ejercicio {{ejercicio
Línea 43: Línea 27:
|titulo=Ejercicio resuelto: ''Mezclas'' |titulo=Ejercicio resuelto: ''Mezclas''
|enunciado={{p}} |enunciado={{p}}
-:Se muelen conjuntamente 50 kg de café de 8.80 €/kg y 30 kg de otro café de inferior calidad, de 6.40 €/kg. ¿A cómo resulta el kilo de la mezcla obtenida?+Se muelen conjuntamente 50 kg de café de 8.80 €/kg y 30 kg de otro café de inferior calidad, de 6.40 €/kg. ¿A cómo resulta el kilo de la mezcla obtenida?
{{p}} {{p}}
|sol= |sol=
{{p}} {{p}}
Para resolverlo haremos uso de la siguiente tabla: Para resolverlo haremos uso de la siguiente tabla:
-{{Tabla50|celda1=+{{Tabla75|celda1=
<table border="1" width="100%"> <table border="1" width="100%">
<tr> <tr>
<td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2"></font></strong></p> <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2"></font></strong></p>
</td> </td>
- <td align="center" width="9%"><strong>CANTIDAD</strong></td>+ <td align="center" width="9%"><strong>CANTIDAD (kg)</strong></td>
- <td align="center" width="11%"><strong>PRECIO</strong></td>+ <td align="center" width="11%"><strong>PRECIO (€/kg)</strong></td>
- <td align="center" width="11%"><strong>COSTE</strong></td>+ <td align="center" width="11%"><strong>COSTE (€)</strong></td>
</tr> </tr>
<tr> <tr>
Línea 75: Línea 59:
</td> </td>
<td align="center" width="9%"><strong>80 kg</strong></td> <td align="center" width="9%"><strong>80 kg</strong></td>
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td>+ <td align="center" width="11%"><strong>x</strong></td>
- <td align="center" width="11%"><strong>632 €</strong></td>+ <td align="center" width="11%"><strong>{{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>440+192=632\;</math>}} €</strong></td>
</tr> </tr>
</table> </table>
|celda2= |celda2=
-{{b4}}Precio de la mezcla = {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>\cfrac{632}{80} = 7.90\;</math>}} €+{{b4}}{{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>80 \cdot x = 632\;</math>}}
 +{{b4}}{{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>x = \cfrac{632}{80} = 7.90\;</math>}} €/kg
}} }}
}} }}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas de mezclas|enunciado=
 +{{problemas de mezclas}}
 +}}
 +
{{p}} {{p}}
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Mezclas'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Mezclas''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{b4}}(Pág. 49)+{{b4}}(Pág. 48)
{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 7, 8 {{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 7, 8
Línea 98: Línea 88:
==Móviles== ==Móviles==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=A tener en cuenta ...|enunciado=
 +*Dos móviles que van uno al '''encuentro''' del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la '''suma''' de las velocidades absolutas de cada móvil.
 +*Dos móviles que van uno en '''persecusión''' del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la '''diferencia''' de las velocidades absolutas de cada móvil.
 +}}
 +{{p}}
{{Ejemplo {{Ejemplo
-|titulo=Ejercicio resuelto: ''Móviles''+|titulo=Ejercicios resueltos: ''Móviles''
-|enunciado=+|enunciado={{p}}
 +'''1.''' Un ciclista profesional, entrenándose, avanza por una carretera a una velocidad de 38 km/h. Más adelante, a 22 km, un cicloturista avanza en el mismo sentido a 14 km/h. ¿Cuánto tarda el ciclista profesional en alcanzar al cicloturista?
 + 
 +'''2.''' Un motorista y un coche avanzan por una carretera, dirigiéndose el uno hacia el otro, a unas velocidades de 50 km/h y 100 km/h, respectivamente. Si los separa una distancia de 10 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
{{p}} {{p}}
-|sol=}}+|sol=
 +'''Solución 1:'''
 +Los ciclistas se aproximan a una velocidad de 38 - 14 = 24 km/h.
 + 
 +Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 22 km:
 + 
 +<center><math>t=\cfrac{e}{v}=\cfrac{22}{24} \ \mbox{h} = 55 \; \mbox{min}</math></center>
 +{{p}}
 +----
 +'''Solución 2:'''
 + 
 +Los dos se aproximan a una velocidad de 50 + 100 = 150 km/h.
 + 
 +Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 10 km:
 + 
 +<center><math>t=\cfrac{e}{v}=\cfrac{10}{150} \ \mbox{h} = 4 \; \mbox{min}</math></center>
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas de móviles|enunciado=
 +{{Video_enlace_tutomate
 +|titulo1=Problemas 1
 +|duracion=8'40"
 +|sinopsis=Problemas de móviles:
 + 
 +#Dos ciudades A y B distan 90 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Al mismo tiempo, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?
 +#Dos ciudades A y B distan 250 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Una hora más tarde, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=IlQf0ScdyY0&index=7&list=PLWRbPOo5oaTfZHG7NVCJbQScXnnXSKvCw
 +}}
 +{{Video_enlace_tutomate
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=4'23"
 +|sinopsis=Problema de móviles:
 + 
 +Un camión sale de una ciudad A a las 9 de la mañana a 50 km/h. Una hora más tarde sale un coche en su persecución a 70 km/h. ¿A qué distancia de A se encuentran? ¿A qué hora?
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=hS1sZkbP24w&index=8&list=PLWRbPOo5oaTfZHG7NVCJbQScXnnXSKvCw
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 3
 +|duracion=7´52"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KBSvWlLxRy4&index=25&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 4
 +|duracion=6´56"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uev-fD9TJ8w&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=26
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 5
 +|duracion=7´38"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=HWQFd8tifYM&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=27
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 6
 +|duracion=19´43"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=QhcHLf9z9rk&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=28
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 7
 +|duracion=5´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ERj55v0DyMc&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=29
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 8
 +|duracion=8´27"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DRceMtILaHs&index=30&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problemas 9
 +|duracion=14´58"
 +|url1=https://youtu.be/QkmbUmqt84Y?list=PLwCiNw1sXMSA5afCSBZn9Y9X9F732nicE
 +|sinopsis=Problemas de móviles.
 +}}
 + 
 +}}
 + 
{{p}} {{p}}
{{ejercicio {{ejercicio
Línea 109: Línea 189:
{{b4}}(Pág. 49) {{b4}}(Pág. 49)
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 9, 10+{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 9
 + 
 +{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 10
}} }}
 +==Grifos==
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=5´07"
 +|sinopsis=Un grifo tarda 4h en llenar un recipiente y a otro le cuesta 12h. ¿Cuánto tardaremos si abrimos los dos grifos a la vez?
 +|url1=https://youtu.be/oz78JG2kpys?list=PLLfTN7MHLxConbepI-_1OEy-pjAxI8IvH
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=6´18"
 +|sinopsis=Tres grifos tardan 2h y 40min en llenar una piscina. Sabiendo que uno de ellos lo hace en solo 6h y el otro en 8h, ¿cuánto tardará el tercero?
 +|url1=https://youtu.be/uJlCMxOyGNA?list=PLLfTN7MHLxConbepI-_1OEy-pjAxI8IvH
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=6'24"
 +|sinopsis=Problema de grifos.
 +|url1=https://youtu.be/bGq7FJ6YE6o?list=PLwCiNw1sXMSA5afCSBZn9Y9X9F732nicE
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=8'19"
 +|sinopsis=Problemas de grifos.
 +|url1=https://youtu.be/CQlj8yCk6tA?list=PLwCiNw1sXMSA5afCSBZn9Y9X9F732nicE
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 5
 +|duracion=7'43"
 +|sinopsis=Problemas de grifos.
 +|url1=https://youtu.be/oV85hDE3Yxw?list=PLwCiNw1sXMSA5afCSBZn9Y9X9F732nicE
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Problema 6
 +|duracion=12´08"
 +|sinopsis=Un caño llena un tanque en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierto el caño?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=u6nsbjY0Vy8
 +}}
 +
 +==Cronometría==
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas de cronometría|enunciado=
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 1
 +|duracion=13´27"
 +|sinopsis=Problemas de cronometría
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8w5Te_OTtas&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=31
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 2
 +|duracion=12´40"
 +|sinopsis=Problemas de cronometría
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=HeLq6ZqhB1g&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=32
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 3
 +|duracion=22´37"
 +|sinopsis=Problemas de cronometría
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aoHMW6cmabc&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=33
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 4
 +|duracion=13´44"
 +|sinopsis=Problemas de cronometría
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TYlR_F94r80&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2&index=34
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problemas 5
 +|duracion=42´45"
 +|sinopsis=Problemas de cronometría
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Tn4ff5b4qUM&index=35&list=PL3KGq8pH1bFTEqvQj6O_p10Kc0oTP4nb2
 +}}
 +}}
 +==Combinatoria==
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas de combinatoria (diagramas de árbol)|enunciado=
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=3´01"
 +|sinopsis=Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=IXhj3NLcbKY&list=PL2015DAE219999027
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=3´49"
 +|sinopsis=Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=vfLF-TNIjE4&index=2&list=PL2015DAE219999027
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=3´33"
 +|sinopsis=Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Qxcno5UKqwg&list=PL2015DAE219999027&index=3
 +}}
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Aritmética]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Aritmética]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 47)

Repartos proporcionales

En los repartos proporcionales tenemos que partir una cantidad en varias partes, de manera que cada parte sea proporcional, directa o inversamente, a unos ciertos números dados.

Repartos directamente proporcionales

ejercicio

Procedimiento


Para repartir una cantidad, C\;, en partes directamente proporcionales a  a, b, c, ...\;, tenemos que:

  1. Calcular la suma S=a+b+c+...\; y la razón p=\cfrac{C}{S}.
  2. Multiplicar a, b, c, ...\; por p\; para obtener las partes buscadas: a \cdot p, \ b \cdot p, \ c \cdot p, ...

ejercicio

Ejemplo: Repartos directamente proporcionales


Tres grifos aportan 2 l/s, 5 l/s y 7 l/s, respectivamente. Se abren los tres simultáneamente para llenar una balsa de 17080 l. Cuando la balsa está llena, ¿qué volumen de agua habrá manado de cada grifo?

Repartos inversamente proporcionales

ejercicio

Procedimiento


Repartir una cantidad, C\;, en partes inversamente proporcionales a  a, b, c, ...\;, equivale a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a sus inversos, \cfrac{1}{a}, \ \cfrac{1}{b}, \cfrac{1}{c}, ...

ejercicio

Ejemplo: Repartos inversamente proporcionales


Un jefe decide repartir 700 € de gratificación entre sus tres empleados, Juan, Luis y Guillermo, de manera que cada uno reciba una cantidad que sea inversamente proporcional al número de veces que han llegado tarde. Si Juan ha llegado 1 día tarde, Luis, 2 días, y Guillermo, 4 días, cuánto le corresponderá a cada uno?

Actividades

ejercicio

Ejercicios propuestos: Repartos proporcionales


    (Pág. 47)

     1, 2

     3, 4

(Pág. 48)

Mezclas

ejercicio

Ejercicio resuelto: Mezclas


Se muelen conjuntamente 50 kg de café de 8.80 €/kg y 30 kg de otro café de inferior calidad, de 6.40 €/kg. ¿A cómo resulta el kilo de la mezcla obtenida?

ejercicio

Ejercicios propuestos: Mezclas


    (Pág. 48)

     7, 8

     5, 6

(Pág. 49)

Móviles

ejercicio

A tener en cuenta ...


  • Dos móviles que van uno al encuentro del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la suma de las velocidades absolutas de cada móvil.
  • Dos móviles que van uno en persecusión del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la diferencia de las velocidades absolutas de cada móvil.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Móviles


1. Un ciclista profesional, entrenándose, avanza por una carretera a una velocidad de 38 km/h. Más adelante, a 22 km, un cicloturista avanza en el mismo sentido a 14 km/h. ¿Cuánto tarda el ciclista profesional en alcanzar al cicloturista?

2. Un motorista y un coche avanzan por una carretera, dirigiéndose el uno hacia el otro, a unas velocidades de 50 km/h y 100 km/h, respectivamente. Si los separa una distancia de 10 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

ejercicio

Ejercicios propuestos: Móviles


    (Pág. 49)

     9

     10

Grifos

Cronometría

Combinatoria

Herramientas personales
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