Progresiones aritméticas
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| - | Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión aritmética de diferencia <math>d\;\!</math>. Por lo tanto, razonando por '''inducción''': | + | {{Teorema |
| + | |titulo=''Obtención del término general de una progresión aritmética'' | ||
| + | |enunciado=Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión aritmética de diferencia <math>d\;\!</math>. | ||
| + | Entonces, se cumple que:{{p}} | ||
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| + | <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math> | ||
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| + | En efecto, razonando por '''inducción''': | ||
| <center><math>a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!</math> | <center><math>a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!</math> | ||
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| <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math> | <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math> | ||
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Revisión de 16:27 20 sep 2007
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Tabla de contenidos |
Definición
Es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija. A esa cantidad fija, 
, la llamamos diferencia.
Obtención del término general
Obtención del término general de una progresión aritmética
Sean 
términos de una progresión aritmética de diferencia .
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En efecto, razonando por inducción:
........................
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Suma de términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Un poco de historia
En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse.
Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los mas grandes matemáticos.
Intenta enterarte de algo más sobre él.
 Problemas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas. a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...Solución: 
2. Si a1 = 0 y d = 3, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a8?
Solución: 
3. Si a10 = 14 y d = -2, calcular a1.
Solución: 
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.
Solución:  |
