Semejanza de triángulos

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Tabla de contenidos

Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Elementos homologos

Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

En los dos triángulos de la imagen de la derecha, los vértices A y A' son homólogos. Lo mismo ocurre con B y B', y con C y C'.

También son homólogos los lados \overline{AB} y \overline{A'B'}, al igual que \overline{AC} y \overline{A'C'}, y que \overline{BC} y \overline{B'C'}.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos son semejantes si cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos son iguales:

\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}',\ \widehat{C}=\widehat{C}'

2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:

\frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}}=r

Al valor r\;\! se le llama razón de semejanza.

ejercicio

Actividad Interactiva: Triángulos semejantes

Actividad 1: Completa la tabla.
Actividad:

Teorema de Tales

ejercicio

Teorema de Tales

Dos rectas d y d', que se cortan en un punto O, cortadas por rectas paralelas AB y A'B', determinan segmentos proporcionales:

\frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}
Demostración:

ejercicio

Actividad Interactiva: Teorema de Tales

Actividad 1: Los 100 metros lisos: Una aplicación del teorema de Tales.
Actividad:
Actividad 2: Averigua lo que miden los segmentos de la figura.
Actividad:
Actividad 3: Averigua la altura máxima que pueden tener los árboles para que quepan en el invernadero.
Actividad:

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales
Imagen:triangulos_tales.png

ejercicio

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Demostración:

Observa la siguiente escena y mueve el punto verde para desplazar el triángulo amarillo. Podrás comprobar que los ángulos son iguales

Criterios de semejanza de triángulos

ejercicio

Criterios de semejanza de triángulos

  1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: \widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'
  2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}
  3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'
Demostración:
  1. En efecto, si tienen dos ángulos respectivamente iguales, el tercero también lo tienen igual. Entonces, esos dos triángulos se pueden poner en la posición de Tales y, en consecuencia, son semejantes.

ejercicio

Actividad Interactiva: Criterios de semejanza de triángulos

Actividad 1: Enlaza los triángulos que cumplen el 2º criterio de semejanza.
Actividad:
Actividad 2: Actividad que permite comprobar si dos triángulos dados cumplen o no los criterios de semejanza. Cuestionario verdadero o falso.
Actividad:

Aplicaciones de los criterios de semejanza

ejercicio

Actividad Interactiva: Aplicaciones de los criterios de semejanza

Actividad 1: Cálculo de la altura conocida la sombra.
Actividad:
La distancia del Sol a la Tierra es muy grande comparada con la tierra y con los objetos que hay sobre ella, de forma que podemos considerar que los rayos del Sol sobre objetos próximos son paralelos.

En consecuencia, los triángulos que forma tienen sus ángulos iguales y, por tanto, son semejantes. Entonces, al ser los lados de los triángulos proporcionales, tenemos:

\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'}

expresión de la cual, conocidos a\;\!, b\;\! y b'\;\!, podemos despejar a\;\!.

a=\frac {a' \cdot b}{b'}
Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: Halla la altura de un árbol con la ayuda de un espejo y una cinta métrica.
Actividad:
Los triángulos ABC y A'BC' son semejantes. ¿Por qué?

En el punto B se coloca un espejo de forma que desde A se vea el extremo del árbol a través de él.

Calcula la altura del árbol. Pon como distancia AC tu estatura y sitúa el punto C donde te parezca más conveniente.

La altura calculada ¿depende de la altura del observador y de donde se sitúe?

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Actividad 3: Semejanza en triángulos rectángulos.
Actividad:
El triángulo ABC es rectángulo, y también lo son los triángulos ACM y BCM. Toma las medidas que necesites para comprobar que los dos triángulos coloreados son semejantes.

También se puede comprobar que son semejantes si nos fijamos en sus ángulos. ¿Por qué?

Además, cada uno de ellos de los dos triángulos es también semejante al triángulo ABC. ¿Por qué?

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Actividad 4: Elige la opción correcta.
Actividad:
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