Semejanza de triángulos
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Triángulos semejantes
Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.
Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:
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se le llama razón de semejanza.
(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.
Teorema de Tales
Primer teorema de Tales
| Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:
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Triángulos en la posición de Tales
Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales Teorema Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales. Demostración: Observa la siguiente escena y mueve el punto verde para desplazar el triángulo amarillo. Podrás comprobar que los ángulos son iguales |  |
Criterios de semejanza de triángulos
Criterios de semejanza de triángulos
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:
- Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:
- En efecto, si tienen dos ángulos respectivamente iguales, el tercero también lo tienen igual. Entonces, esos dos triángulos se pueden poner en la posición de Tales y, en consecuencia, son semejantes.
Aplicaciones de los criterios de semejanza
 Actividad Interactiva: Aplicaciones de los criterios de semejanza
Actividad 1: Cálculo de la altura conocida la sombra.
Actividad: La distancia del Sol a la Tierra es muy grande comparada con la tierra y con los objetos que hay sobre ella, de forma que podemos considerar que los rayos del Sol sobre objetos próximos son paralelos. En consecuencia, los triángulos que forma tienen sus ángulos iguales y, por tanto, son semejantes. Entonces, al ser los lados de los triángulos proporcionales, tenemos:  expresión de la cual, conocidos 
Actividad 2: Halla la altura de un árbol con la ayuda de un espejo y una cinta métrica.
Actividad: Los triángulos ABC y A'BC' son semejantes. ¿Por qué? En el punto B se coloca un espejo de forma que desde A se vea el extremo del árbol a través de él. Calcula la altura del árbol. Pon como distancia AC tu estatura y sitúa el punto C donde te parezca más conveniente. La altura calculada ¿depende de la altura del observador y de donde se sitúe?
Actividad 3: Semejanza en triángulos rectángulos.
Actividad: El triángulo ABC es rectángulo, y también lo son los triángulos ACM y BCM. Toma las medidas que necesites para comprobar que los dos triángulos coloreados son semejantes. También se puede comprobar que son semejantes si nos fijamos en sus ángulos. ¿Por qué? Además, cada uno de ellos de los dos triángulos es también semejante al triángulo ABC. ¿Por qué?
Actividad 4: Elige la opción correcta.
Actividad: |
, 
y 
, podemos despejar 
