Semejanza de triángulos. Teorema de Tales (2º ESO)

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Tabla de contenidos

(Pág. 202)

Semejanza de triángulos

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

  • Dos triángulos, ABC\; y A'B'C'\;, son semejantes, y lo notaremos ABC \sim A'B'C'\;, si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:
\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'
2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:
\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r

  • Al valor r\;\! se le llama razón de semejanza.


(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Teorema de Tales

ejercicio

Primer teorema de Tales


Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

 

\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teorema de Tales


(Pág. 202)

1, 2

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

ejercicio

Corolario


Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Triángulos en la posición de Thales
Aumentar
Triángulos en la posición de Thales

Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

ejercicio

Criterios de semejanza de triángulos


  1. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}
  2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: \widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'
  3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Semejanza de triángulos


(Pág. 203)

3, 4

Semejanza entre triángulos rectángulos

Cuando los triángulos son rectángulos, las condiciones para que sean semejantes se reducen.

ejercicio

Proposición


Dos triángulos rectángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones:

  • Tienen un ángulo agudo igual.
  • Tienen dos lados proporcionales.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Semejanza entre triángulos rectángulos


(Pág. 204)

1, 2, 3, 4

Teoremas del cateto y de la altura

ejercicio

Teorema del cateto


En todo triángulo rectángulo, un cateto, a\;, es media proporcional entre la hipotenusa, h\;, y la proyección, m\;, de dicho cateto sobre la hipotenusa, c\;.

\frac{a}{m}=\frac{c}{a} \ \rightarrow \ a^2=m \cdot c

Y análogamente con el otro cateto, b\;, y su proyección, m\;:

\frac{b}{n}=\frac{c}{b} \ \rightarrow \ b^2=n \cdot c

ejercicio

Teorema de la altura


En todo triángulo rectángulo, la altura, h\;, sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta, m\; y n\;.

\frac{h}{n}=\frac{m}{h}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teoremas del cateto y de la altura


(Pág. 205)

5, 6

Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Aplicaciones de la semejanza de triángulos


(Pág. 206-207)

1, 2, 3

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