Sistemas de ecuaciones de primer grado

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Revisión de 21:39 13 ene 2009

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Tabla de contenidos

1 Sistemas de ecuaciones 2x2
2 Sistemas equivalentes
3 Número de soluciones de un sistema
4 Métodos de resolución de sistemas
5 Resolución de problemas mediante sistemas
6 Ejercicios

Sistemas de ecuaciones 2x2

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

$\left . \begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix} \right \}$

Se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de un sistema son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones

Comprueba si las parejas de números $(x=1, y=2)\;\!$ ; $(x=-1, y=3)\;\!$ son o no soluciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Sustituimos los valores $(x=1, y=2)\;\!$ en las dos ecuaciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5 \cdot 1+ 2=7 \ne -2 \\ -1+2=1 \ne 4 \end{matrix} \right \}$

Como no se verifican las dos ecuaciones, la pareja $(x=1, y=2)\;\!$ no es solución del sistema.

Sustituimos los valores $(x=-1, y=3)\;\!$ en las dos ecuaciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5 \cdot (-1)+ 3=-2 \\ 1+3= 4 \end{matrix} \right \}$

Ahora si se verifican las dos ecuaciones, por tanto, la pareja $(x=-1, y=3)\;\!$ si es solución del sistema.

Comprueba en la siguiente escena la solución del sistema. para ello deberás introducir los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes.

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Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Actividad Interactiva: Sistemas equivalentes

Actividad 1: Obteniendo sistemas equivalentes.

Actividad:

Dado el siguiente sistema

$\left . \begin{matrix} 2x-y=6 \\ 3x+3y=18 \end{matrix} \right \}$

a) Represéntalo gráficamente.

b) Multiplica la primera ecuación por 3 y divide la segunda por 3. Representa el nuevo sistema.

c) Resta a la 2ª ecuación la 1ª ecuación y representa sobre la gráfica anterior la nueva ecuación.

d) Suma a la 1ª ecuación la 2ª multiplicada por 5 y representa la nueva ecuación en la gráfica anterior.

e) Comprueba el proceso en la siguiente escena:

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Número de soluciones de un sistema

Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
Usaremos las siguientes sigles para abreviar:
- S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
- S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
- S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Número de soluciones de un sistema 2x2

Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales puede ser:

Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.
Incompatible (S.I): 0 soluciones.

Demostración:

En efecto, razonando a partir de sus representaciones gráficas:

Si las dos rectas se cortan en un punto: 1 solución (S.C.D.)
Si las dos rectas son coincidentes: Infinitas soluciones (S.C.I.)
Si las rectas son paralelas: 0 soluciones (S.I.)

En la siguiente actividad veremos un ejemplo de cada uno de los tres casos anteriores.

Actividad Interactiva: Soluciones de un sistema

Actividad 1: Sistema incompatible.

Actividad:

Dado el siguiente sistema

$\left . \begin{matrix} x+y=6 \\ 3x+3y=9 \end{matrix} \right \}$

a) Represéntalo gráficamente

b) ¿Cómo son las rectas que aparecen?

c) ¿Existe algún punto que pertenezca a ambas rectas?

d) ¿Cuantas soluciones tiene el sistema?

e) Utiliza la escena para comprobar los resultados:

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Actividad 2: Sistema compatible indeterminado.

Actividad:

Dado el siguiente sistema

$\left . \begin{matrix} x+y=6 \\ 3x+3y=18 \end{matrix} \right \}$

a) Represéntalo gráficamente

b) ¿Cómo son las rectas que aparecen?

c) ¿Existe algún punto que pertenezca a ambas rectas?

d) ¿Cuantas soluciones tiene el sistema?

e) Utiliza la escena para comprobar los resultados:

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Actividad 3: Sistema compatible determinado.

Actividad:

Dado el siguiente sistema

$\left . \begin{matrix} x+y=6 \\ 7x-y=18 \end{matrix} \right \}$

a) Represéntalo gráficamente

b) ¿Cómo son las rectas que aparecen?

c) ¿Existe algún punto que pertenezca a ambas rectas?

d) ¿Cuantas soluciones tiene el sistema?

e) Utiliza la escena para comprobar los resultados:

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Actividad 4: Autoevaluación.

Actividad:

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Métodos de resolución de sistemas

Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

Ejemplo: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en la primera ecuación:

$x=6+y\;\!$

Sustituimos esta expresión de la $x\;\!$ en la segunda ecuación:

$3(6+y)+2y=13\;\!$

Resolvemos la ecuación resultante:

$18+3y+2y=13\;\!$

$18+5y=13\;\!$

$5y=13-18\;\!$

$5y=-5\;\!$

$y=\cfrac{-5}{5}\;\!$

$y=-1\;\!$

Sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en $x=6+y\;\!$ :

$x=6-1\;\!$

$x=5\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=5; \ y=-1\;\!$

Comprueba en la siguiente escena la solución del sistema. para ello deberás introducir los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes.

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Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

Ejemplo: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en cada una de las dos ecuaciones:

$x=\cfrac{6-12y}{5};\,x=\cfrac{2-2y}{3}$

Igualamos estas dos expresiones:

$\cfrac{6-12y}{5}=\cfrac{2-2y}{3}$

Resolvemos la ecuación:

$3(6-12y)=5(2-2y)\;\!$

$18-36y=10-10y\;\!$

$-36y+10y=10-18\;\!$

$-26y=-8\;\!$

$y=\cfrac{-8}{-26}\;\!$

$y=\cfrac{4}{13}\;\!$

Sustituimos el valor $y=\cfrac{4}{13}\;\!$ en cualquiera de las expresiones del primer paso, por ejemplo en $x=\cfrac{2-2y}{3}$ :

$x=\cfrac{2-2( \cfrac{4}{13})}{3}$

$x=\cfrac{6}{13}$

Así, la solución del sistema es:

$x=\cfrac{6}{13}; \ y=\cfrac{4}{13}$

Comprueba en la siguiente escena la solución del sistema. para ello deberás introducir los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes.

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Método de reducción

El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida, de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

Ejemplo: Método de reducción

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)

$\left . \begin{matrix} 12x+8y=28 \\ -12x+9y=-45 \end{matrix} \right \}$

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:

  12x + 8y =  28
 -12x + 9y = -45
 ----------------
       17y = -17

$y=\cfrac{-17}{17}$

$y=-1\;\!$

Sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera: $3x+2y=7 \;\!$

$3x+2(-1)=7 \;\!$

$3x=7+2 \;\!$

$x=3\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=3; \ y=-1\;\!$

Comprueba en la siguiente escena la solución del sistema. para ello deberás introducir los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes.

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Actividades Interactivas: Métodos de resolución de sistemas

Actividad 1: Autoevaluación.

Actividad:

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Resolución de problemas mediante sistemas

Actividades Interactivas: Planteamiento y resolución de sistemas

Actividad 1: Al buscar alojamiento en la playa para nuestras vacaciones encontramos un hotel con sesenta habitaciones entre habitaciones dobles e individuales, con un total de ciento diez camas. ¿Cuántas habitaciones hay dobles y cuántas individuales?

Actividad:

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Actividad 2: La edad de Belén y de su padre Fernando suman 77 años. ¿Qué edad tiene cada uno, sabiendo que dentro de dos años, la edad del padre será el doble que la de la hija?

Actividad:

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Actividad 3: Plantea y resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. Comprueba luego la solución.

Actividad:

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Actividad 4: Acertijo frutal.

Actividad:

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Ejercicios

Actividades Interactivas: Ejercicios de autoevaluación

Actividad 1: Resolución de sistemas.

Actividad:

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Actividad 2: Conceptos generales.

Actividad:

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Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Sistemas_de_ecuaciones_de_primer_grado"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

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 *Un sistema es '''compatible''' si tiene solución e '''incompatible''' si no la tiene.
-*Un sistema es '''determinado''' si tiene una única solución e '''indeterminado''' si tiene infinitas soluciones.}}
+*Un sistema es '''determinado''' si tiene un número finito de soluciones e '''indeterminado''' si tiene infinitas soluciones.
+*Usaremos las siguientes sigles para abreviar:
+**S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
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+}}
 {{p}}
 {{Teorema
 |titulo=''Número de soluciones de un sistema 2x2''
-|enunciado=Un sistema 2x2 puede ser:
+|enunciado=Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales puede ser:
 *Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
 *Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones de primer grado

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