Sistemas de ecuaciones de primer grado

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Tabla de contenidos

1 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
2 Sistemas equivalentes
3 Número de soluciones de un sistema
4 Métodos de resolución de sistemas
5 Actividades
6 Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
7 Apéndice

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Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

$\left . \begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix} \right \}$

Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores $(x,y)\;$ que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones

Comprueba si las parejas de números (1,2) y (-1,3) son o no soluciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Para comprobar si (1,2) es solución, sustituimos x=1 e y=2 en las dos ecuaciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5 \cdot 1+ 2=7 \ne -2 \\ -1+2=1 \ne 4 \end{matrix} \right \}$

Como no se verifican las dos ecuaciones, la pareja (1,2) no es solución del sistema.

Para comprobar si (-1,3) es solución, sustituimos x=-1 e y=3 en las dos ecuaciones del sistema:

$\left . \begin{matrix} 5 \cdot (-1)+ 3=-2 \\ 1+3= 4 \end{matrix} \right \}$

Ahora si se verifican las dos ecuaciones, por tanto, la pareja (-1,3) si es solución del sistema.

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Soluciones

Tutorial (1´00") Sinopsis:

Ecuación lineal con dos incógnitas. Soluciones.
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Soluciones.

Ejercicio (4´26") Sinopsis:

Comprueba si el par (-1,7) es solución del siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} ~~x+2y &=~~13 \\ 3x-~y &=-11 \end{matrix} \right \}$

Sistema de ecuaciones lineales 2x2. Soluciones

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Comprueba soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.

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Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Al igual que hicimos con las ecuaciones, para resolver sistemas, obtendremos otros equivalentes más sencillos de resolver que el de partida. Para ello utilizaremos las siguientes técnicas.

Transformaciones que mantienen la equivalencia de los sistemas

Si se suma o resta a ambos miembros de una ecuación de un sistema una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
Si se multiplican o se dividen ambos miembros de un sistema por un número distinto de cero el sistema resultante es equivalente.
Si se suma o resta a una ecuación del sistema otra ecuación del sistema el sistema resultante es equivalente.

Observación

Los dos primeros apartados ya los conocíamos del tema de ecuaciones, ya que son las transformaciones que permiten obtener ecuaciones equivalentes a una dada.
Los apartados 2 y 3 se puede combinar, esto es, si a una ecuación de un sistema le sumamos o restamos otra ecuación multiplicada o dividida por un número distinto de cero, el sistema obtenido es equivalente.

Sistemas equivalentes

Tutorial (8´14") Sinopsis:

¿Por qué podemos restar una ecuación de la otra en un sistema de ecuaciones?

Ejercicio 1 (7´14") Sinopsis:

Dado el sistema:

$\left . \begin{matrix} ~x+2y=-1 \\ -4x+5y=~1 \end{matrix} \right \}$

determina cuáles de los siguientes sistemas son equivalentes al anterior:

a) $\left . \begin{matrix} ~x+2y=-1 \\ -3x+7y=~0 \end{matrix} \right \}$

b) $\left . \begin{matrix} -4x+~5y=1 \\ -8x-16y=8 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (6´18") Sinopsis:

Dado el sistema:

$\left . \begin{matrix} ~5x-~y=3 \\ 14x-7y=7 \end{matrix} \right \}$

determina cuáles de los siguientes sistemas son equivalentes al anterior:

a) $\left . \begin{matrix} 19x-8y=10 \\ 14x-7y=~2 \end{matrix} \right \}$

b) $\left . \begin{matrix} ~5x-y=-6 \\ -2x+y=-1 \end{matrix} \right \}$

Sistemas equivalentes

Actividad Descripción:

En esta escena podrás realizar la siguiente actividad en la que se comprueba como ciertas transformaciones hechas a un sistema dan lugar a otro sistema equivalente.

Partirás del sistema:

$\left . \begin{matrix} 2x-y=6 \\ 3x+3y=18 \end{matrix} \right \}$

y deberás contestar a las siguientes preguntas:

Este sistema está representado en la escena. ¿Cuál es su solución?
Divide la segunda ecuación por 3, dejando la segunda ecuación igual. Representa el nuevo sistema. ¿Qué solución tiene el nuevo sistema?. ¿Es equivalente al sistema de partida?
En el sistema obtenido en el apartado 2, suma la 2ª ecuación a la 1ª y representa el sistema formado por esa nueva ecuación y una cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de partida (por ejemplo la segunda). ¿Qué solución tiene?. ¿Es equivalente al sistema de partida?
En el sistema obtenido en el apartado 3, divide la primera ecuación (la que no tiene "y") por 3 y deja la segunda ecuación igual. ¿Qué solución tiene?. ¿Es equivalente al sistema de partida?

Podrás hacer uso de la escena para representar las ecuaciones de los sistemas que van a apareciendo en cada apartado.

Autoevaluación Descripción:

Sistemas de ecuaciones equivalentes.

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Número de soluciones de un sistema

Discutir un sistema consiste en decir si el sistema tiene o no tiene solución, y caso de tener, si hay un número finito o infinito de soluciones.

Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Al discutir un sistema usaremos las siguientes siglas para abreviar:

S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Discusión de sistemas lineales 2x2

Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales puede ser:

Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.
Incompatible (S.I): 0 soluciones.

Demostración:

En efecto, razonando a partir de sus representaciones gráficas:

Si las dos rectas se cortan en un punto: 1 solución (S.C.D.)
Si las dos rectas son coincidentes: Infinitas soluciones (S.C.I.)
Si las rectas son paralelas: 0 soluciones (S.I.)

Número de soluciones de un sistema lineal 2x2

Ejercicio 1 (5´30") Sinopsis:

Averigua si el siguiente sistema es compatible (consistente) o incompatible (inconsistente):

$\left . \begin{matrix} ~x+2y=~13 \\ 3x-~y=-11 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (5´12") Sinopsis:

Averigua si el siguiente sistema es compatible determinado o compatible indeterminado:

$\left . \begin{matrix} 4x+2y=16 \\ y=-2x+8 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 3 (3´27") Sinopsis:

A partir de la gráfica del video identifica sistemas con o sin solución.

Ejercicio 4 (13´05") Sinopsis:

Determina el número de soluciones del siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} ~-6x+~y=1 \\ -12x+2y=2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 5 (9´28") Sinopsis:

Determina el número de soluciones de los siguientes sistemas:

a) $\left . \begin{matrix} 2x+4y=15 \\ 2x+4y=13 \end{matrix} \right \}$

b) $\left . \begin{matrix} 14x-7y=21 \\ ~2x~-y=~3 \end{matrix} \right \}$

c) $\left . \begin{matrix} 8x-4y=-4 \\ y=2x+2 \end{matrix} \right \}$

d) $\left . \begin{matrix} 3x-7y=~~6 \\ 5x-7y=-10 \end{matrix} \right \}$

e) $\left . \begin{matrix} -3x~+5y=~~1 \\ ~9x-15y=-3 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 6 (2´14") Sinopsis:

¿Cuántas soluciones tiene un sistema si tiene al menos dos?

Número de soluciones de un sistema lineal 2x2

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y a interpretarlo gráficamente.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y a interpretarlo gráficamente.

Actividad 3a Descripción:

En esta escena podrás interactuar para ver la representación gráfica de los distintos tipos de sistemas según el número de soluciones y contestar a algunas preguntas.

Actividad 3b Descripción:

En esta escena podrás ver 3 ejemplos con los distintos tipos de sistemas según el número de soluciones y contestar a una serie preguntas en relación a ellos.

Autoevaluación 1a Descripción:

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: método gráfico.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre los tipos de sistemas lineales dependiendo del número de soluciones.

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Métodos de resolución de sistemas

Vamos a ver cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones: Uno gráfico y tres algebraicos (sustitución, igualación y reducción).

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Método grafico

Procedimiento

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, representaremos gráficamente las rectas de las soluciones de cada una de las ecuaciones:

Si las rectas se cortan, el punto de corte será la única solución del sistema.
Si las rectas son paralelas, el sistema no tendrá solución.
Si las rectas son coincidentes, el sistema tendrá infinitas soluciones.

Método grafico de resolución de sistemas lineales 2x2

Tutorial 1 (8'05") Sinopsis:

Resolución de sistemas por el método grafico. Ejemplos.

Tutorial 2 (25'23") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (grado 1) de dos variables por el método gráfico.

00:00 a 01:50: Definiciones iniciales.
01:50 a 15:10: Explicación del método gráfico. Ejemplo 1.
15:10 a 18:40: Ejemplo 2.
18:40 a 22:30: Explicación de los distintos tipos de sistema en función a sus soluciones. Ejemplos 3-4-5.
22:30 a Fin: Utilización de la aplicación online DESMOS para la resolución de sistemas de ecuaciones.

Ejercicio 1 (10'23") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 2x+y=9 \\ x-2y=\ 2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (10'35") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 4x+3y=18 \\ 5x-6y=\ 3 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 3x-4y=-6 \\ ~x+2y=\ ~8 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (5'45") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} -x+y=1 \\ ~x+y=\ 3 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 5 (3'20") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} y=-\cfrac{2}{3}\,x+1 \\ y=~\cfrac{2}{3}\,x+5 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 6 (9'53") Sinopsis:

1) Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 5x-10y=~20 \\ 2x+4y=-16 \end{matrix} \right \}$

2) Dada la gráfica (ver video), obtén la solución aproximada del sistema.

3) Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} y=-7x+5 \\ y=~-x-7 \end{matrix} \right \}$

Método grafico de resolución de sistemas lineales 2x2

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que aprenderás a resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Actividad en la que deberás comprobar si una pareja de números son o no solución de un sistema.

Actividad 2 Descripción:

Escena en la que podrás representar graficamente un sistema lineal 2x2 y resolverlo gráficamente.

Autoevaluación Descripción:

Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de gráficas.

Método grafico de resolución de sistemas lineales 2x2

Actividad: Método grafico de resolución de sistemas lineales 2x2

Resuelve los siguientes sistemas por el método gráfico:

a) $\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}$

b) $\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ 5x+y=5 \end{matrix} \right \}$

c) $\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -5x-y=2 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve 5x+y=-2 , -x+y=4

b) solve 5x+y=-2 , 5x+y=5 y plot 5x+y=-2 , 5x+y=5

c) solve 5x+y=-2 , -5x-y=2

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Método de sustitución

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que resulte más fácil de despejar).
Se sustituye la incógnita despejada en (1) en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en la expresión de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en la primera ecuación:

$x=6+y\;\!$ [1]

Sustituimos esta expresión de la $x\;\!$ en la segunda ecuación:

$3(6+y)+2y=13\;\!$

Resolvemos la ecuación resultante:

$18+3y+2y=13\;\!$

$18+5y=13\;\!$

$5y=13-18\;\!$

$5y=-5\;\!$

$y=\cfrac{-5}{5}\;\!$

$y=-1\;\!$

Para obtener el valor de $x\;\!$ , sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en [1]:

$x=6-1\;\!$

$x=5\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=5; \ y=-1\;\!$

Método de sustitución

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de sustitución. Ejemplo.

Tutorial 2 (9'19") Sinopsis:

Método de sustitución. Ejemplos.

Tutorial 3 (16'21") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (grado 1) de dos variables por el método de sustitución.

Ejemplos (casos sencillos) (5'39") Sinopsis:

Videotutorial sobre el método de sustitución para casos sencillos.

Ejercicio 1 (7'01") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = 1 \\ ~x-~y & = 3 \end{cases}$

Ejercicio 2 (3'59") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = ~5 \\ ~x-2y & = -1 \end{cases}$

Ejercicio 3 (4'15") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = 12 \\ ~x-y & = ~1 \end{cases}$

Ejercicio 4 (4´31") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicio 5 (11´23") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de sutitución:

$\begin{cases}2x-y & = 8 \\ ~x+y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}3x+2y & = 4 \\ 6x+4y & = 0 \end{cases}$
$\begin{cases}2x+4y & = 3 \\ 6x+8y & = 4 \end{cases}$

Ejercicio 6 (5´45") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}~x+3y & = ~6 \\ 5x-2y & = 13 \end{cases}$

Ejercicio 7 (6´03") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-5x+~y & = ~8 \\ 8x-7y & = 25 \end{cases}$

Ejercicio 8 (8´07") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-3x+4y & = -24 \\ ~5x+7y & = ~-1 \end{cases}$

Ejercicio 9 (7´16") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-x+5y & = ~6 \\ 3x+~y & = 10 \end{cases}$

Ejercicio 10 (7´31") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}~2x+3y & = ~7 \\ -3x+4y & = -2 \end{cases}$

Ejercicio 11 (5´32") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-x-y = 1 \\ x= -3y-9 \end{cases}$

Método de sustitución

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de sustitución para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de sustitución para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Método de igualación

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de igualación se siguen los siguientes pasos:

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema.
Se igualan las expresiones obtenidas en (1), con lo que se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos expresiones de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en cada una de las dos ecuaciones:

$x=\cfrac{6-12y}{5}\, ; \quad x=\cfrac{2-2y}{3}$ [1]

Igualamos estas dos expresiones:

$\cfrac{6-12y}{5}=\cfrac{2-2y}{3}$

Resolvemos la ecuación:

$3(6-12y)=5(2-2y)\;\!$

$18-36y=10-10y\;\!$

$-36y+10y=10-18\;\!$

$-26y=-8\;\!$

$y=\cfrac{-8}{-26}\;\!$

$y=\cfrac{4}{13}\;\!$

Sustituimos el valor $y=\cfrac{4}{13}\;\!$ en cualquiera de las expresiones de [1], por ejemplo en $x=\cfrac{2-2y}{3}$ :

$x=\cfrac{2-2( \cfrac{4}{13})}{3}$

$x=\cfrac{6}{13}$

Así, la solución del sistema es:

$x=\cfrac{6}{13}; \ y=\cfrac{4}{13}$

Método de igualación

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de igualación. Ejemplo.

Tutorial 2 (0'34") Sinopsis:

Resolución de sistemas por igualación. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'52") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+5y & = -29 \\ 2x+3y & = -18 \end{cases}$

Ejercicio 2 (4'39") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}2x+3y & = ~5 \\ ~x-2y & = -1 \end{cases}$

Ejercicio 3 (5'34") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+2y & = ~3 \\ -x+5y & = 16 \end{cases}$

Ejercicio 4 (5´13") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicios 5 (8´10") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}$
$\begin{cases}3x+2y & = 5 \\ 6x+4y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}2x+3y & = 4 \\ 4x+6y & = 8 \end{cases}$

Ejercicio 6 (6´10") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}x+8y & = 23 \\ x+~y & = ~9 \end{cases}$

Ejercicio 7 (7´56") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~x+6y & = 27 \\ 7x-3y & = ~9 \end{cases}$

Ejercicio 8 (8´42") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~6x-18y & = -85 \\ 24x-~5y & = ~-5 \end{cases}$

Ejercicio 9 (8´56") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~9x+16y & = 7 \\ -3x+~4y & = 0 \end{cases}$

Ejercicio 10 (8´41") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+5y & = ~7 \\ 2x-~y & = -4 \end{cases}$

Método de igualación

Actividad Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de igualación para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Método de reducción

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de reducción o eliminación se siguen los siguientes pasos:

Se obtiene un sistema equivalente al de partida, multiplicando las dos ecuaciones por números apropiados, de manera que una de las incógnitas quede con coeficentes opuestos en ambas ecuaciones.
Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, desapareciendo así la incógnita con coeficientes opuestos.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos ecuaciones del sistema de partida, averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de reducción

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)

$\left . \begin{matrix} ~~12x+8y=~~28 \\ -12x+9y=-45 \end{matrix} \right \}$

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:

$\begin{matrix} ~~12x+8y=~~28 \\ -12x+9y=-45 \\ --------- \\ \quad \qquad 17y=-17 \end{matrix}$

$y=\cfrac{-17}{17}$

$y=-1\;\!$

Sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de partida, por ejemplo en la primera: $3x+2y=7 \;\!$

$3x+2(-1)=7 \;\!$

$3x=7+2 \;\!$

$x=3\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=3; \ y=-1\;\!$

Método de reducción

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de reducción. Ejemplo.

Tutorial 2 (9'10") Sinopsis:

Resolución de sistemas por reducción. Ejemplos.

Tutorial 3 (15'40") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (grado 1) de dos variables por el método de reducción.

Ejercicio 1 (5'25") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\left . \begin{matrix} 2x+3y=~5 \\ ~x-2y=-1 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (7'40") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}3x+2y & = 16 \\ 5x-3y & = -5 \end{cases}$

Ejercicio 3 (5'42") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\left . \begin{matrix} 5x+6y=20 \\ 3x+8y=34 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (4´14") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicio 5 (10´54") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

$\begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}$
$\begin{cases}5u+2v & = 7 \\ 4u+3v & = 7 \end{cases}$

Ejercicio 6 (7´18") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

$\begin{cases}6x+3y & = 4 \\ 2x+~y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}8x-6y & = 10 \\ 4x-3y & = ~5 \end{cases}$

Ejercicio 7 (3'43") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} x+y=8 \\ x-y= 4 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 8 (6'15") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 6x-5y= -9 \\ 4x+3y= 13 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 9 (6'01") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 5x+~y= -1 \\ 3x+2y= ~5 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 10 (5'30") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} ~5x+3y= 21 \\ -2x+4y= ~2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 11 (6'00") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 7a+2b= -3 \\ 2a-3b= -8 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 12 (6´23") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}-4x+2y & = ~12 \\ -5x-2y & = -30 \end{cases}$

Ejercicio 13 (12´02") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

a) $\begin{cases}5x-10y & = 15 \\ 3x-~2y & = ~3 \end{cases}$

b) $\begin{cases}5x+7y & = 15 \\ 7x-3y & = ~5 \end{cases}$

Método de reducción

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación 1a Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Autoevaluación 1b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Actividades

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre resolución de sistemas utilizando los tres métodos.

Ejercicio (7´37") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\begin{cases}3x+~y & = 23 \\ ~x+5y & = 17 \end{cases}$

b) $\begin{cases}~x+2y & = 3 \\ 3x+6y & = 8 \end{cases}$

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Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Procedimiento

Para resolver un problema mediante sistemas de ecuaciones hay que seguir los siguientes pasos:

Determinar las incógnitas.
Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante ecuaciones en las que intervengan las incógnitas.
Resolver el sistema, es decir, hallar el valor de las incógnitas.
Dar la solución del problema a partir de los valores obtenidos de las incógnitas.

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales

Problemas 1 (9'22") Sinopsis:

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones.

Problemas 2 (16'26") Sinopsis:

Tutorial practico en el que aparecen dos problemas resueltos mediante ecuaciones. Estos problemas son del tipo en el que aparecen distintos elementos (vacas/avestruces, monedas 1€/2€, aciertos/fallos...) que juntos aportan un total de algo (patas, dinero, puntuación...).

Problema 3 (11'11") Sinopsis:

Resolución de problemas empleando sistemas de ecuaciones no lineales.

Problema 4 (11'44") Sinopsis:

Por tres adultos y cinco niños se pagan 190€ para entrar en un parque de atracciones. Si son cuatro adultos y siete niños, el valor es de 260€.¿Cuál es el valor de cada entrada?

Problema 5 (4'05") Sinopsis:

Resolución de problemas de números mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Problema 6 (8'42") Sinopsis:

Resolución de problemas de edades mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Problema 7 (8'58") Sinopsis:

Resolución de problemas de invertir las cifras de un número mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Problema 8 (10'15") Sinopsis:

Resolución de problemas de invertir las cifras de un número mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Problema 9a (edades) (5'26") Sinopsis:

Un padre es 4 veces mayor que sus hijo. En 24 años más, él tendrá el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo?

Problema 9b (edades) (5'36") Sinopsis:

Juan le dice a su hermano Pedro: hace tres años yo era cuatro veces más viejo que tú, pero dentro de cinco, sólo te doblaré en edad. ¿Cuántos años tienen?

Problema 10 (geometría) (5'33") Sinopsis:

Se tienen dos cuadrados distintos. El lado de uno de ellos es 4 cm mayor que el del otro. Averigua la longitud de los lados de ambos cuadrados sabiendo que la suma de sus áreas es de 80 cm ².

Problema 11 (números) (4'37") Sinopsis:

Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, la diferencia de sus cocientes es 1. Halla los números.

Problema 12 (mezclas) (5'54") Sinopsis:

Con dos clases de café de 900 pts/kg y 1200 pts/kg, se quiere obtener una mezcla de 1000 pts/kg. (pts=pesetas) Halla las cantidades que hay que mezclar para obtener 30 kg de mezcla.

Problema 13 (cifras) (5'49") Sinopsis:

La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número le añades 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras pero en orden inverso. Halla el número.

Problemas 14 (7´06") Sinopsis:

Juan y María son hermanos. El tiene tantos hermanos como hermanas, y ella tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos hay de cada sexo?
Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área aumenta 600 m² al duplicar los lados, aumentando 340 m² si la base disminuye 2 m y la altura se triplica.

Problemas 15 (7´03") Sinopsis:

Determina un número de dos dígitos sabiendo que es el cuádruplo de la suma de éstos, y que al invertir el orden de los dígitos, aumenta 36 unidades.
Determina un número de dos dígitos sabiendo que la suma de ambos es 11, y que al invertir el orden de los dígitos, resulta un número que se diferencia en 36 unidades del primero.

Problema 16a (6'54") Sinopsis:

Un gnomo tiene 900 monedas entre monedas de 5 y 10 pesos con un valor total de 5500 pesos. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo? (1ª parte: El planteamiento)

Problema 16b (5'44") Sinopsis:

Un gnomo tiene 900 monedas entre monedas de 5 y 10 pesos con un valor total de 5500 pesos. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo? (2ª parte: resolución por el método gráfico)

Problema 17 (9'03") Sinopsis:

A un banquete asistieron 500 adultos y 200 niños y se comieron 2900 pasteles. A otro banquete asistieron 500 adultos y 300 niños y comieron 3100 pasteles. Sabiendo que cada niño o cada adulto comió la misma cantidad de pasteles en ambos banquetes, calcula el número de pasteles que comió cada adulto y el número de pasteles que comió cada niño. (Método de reducción)

Problema 18a (9'25") Sinopsis:

A un banquete asistieron 200 hombres y 300 mujeres y se comieron 1200 bolsas de patatas fritas. A otro banquete asistieron 100 hombres y 400 mujeres y comieron 1100 bolsas de patatas fritas. Sabiendo que cada hombre o cada mujer comió la misma cantidad de bolsas de patatas en ambos banquetes, calcula el número de bolsas que comió cada hombre y el número de bolsas que comió cada mujer. (Método de reducción)

Problema 18b (5'24") Sinopsis:

Problema 19a (9'26") Sinopsis:

Un día fuimos al mercado y compramos 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos por 3 pesos. Otro día compramos 6 kg de manzanas y 3 kg de plátanos y pagamos 15 pesos. Averigua a cómo está cada una de las frutas. (Problema sin solución)

Problema 19b (7'08") Sinopsis:

Un día fuimos al mercado y compramos 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos por 5 pesos. Otro día compramos 6 kg de manzanas y 3 kg de plátanos y pagamos 15 pesos. Averigua a cómo está cada una de las frutas. (Problema con infinitas soluciones)

Problema 20 (6'30") Sinopsis:

Vicente tiene 4 veces la edad de Alex. Hace 12 años, Vicente tenía 7 veces la edad de Alex. ¿Cuál es la edad actual de Alex?

Problema 21 (5'24") Sinopsis:

Armando tiene 18 años y Diana 2 años. ¿En cuántos años Armando tendrá el triple de edad que Diana?

Problema 22 (8'13") Sinopsis:

Juanito caminó desde su casa a la parada del autobús a una velocidad media de 5 km/h. El subió de inmediato a su autobús y viajó a una velocidad media de 60 km/h hasta que llegó a su escuela. La distancia total de su casa a la escuela es de 35 km y todo el viaje duró 1.5 horas. ¿Cuántos kilómetros caminó Juanito y cuántos recorrió en autobús?

Problema 23 (6'05") Sinopsis:

Una fábrica tiene máquinas que producen juguetes y que son empaquetados por los trabajadores de la fábrica. Un día cada máquina produce 14 juguetes y cada trabajador empaqueta 2, por lo que un total de 40 juguetes queda sin empaquetar. Además ese día, el número de trabajadores era 8 menos que 7 veces el número de máquinas. ¿Cuántas máquinas y trabajadores había ese día?

Problema 24 (5'56") Sinopsis:

El granjero José cultiva vegetales y divide su campo entre cultivos de brócoli y cultivos de espinaca. El año pasado cosechó 6 toneladas de brócoli y 9 de espinaca por acre, que dieron un total de 93 toneladas de vegetales. Este año ha cosechado 2 toneladas de brócoli y 3 de espinaca por acre, para un total de 31 toneladas de vegetales. ¿Cuántos acres dedica al cultivo de brócoli y cuántos al de espinaca?

Problema 25 (5'53") Sinopsis:

Un almacén de electrónica envía televisores y reproductores DVD de manera combinada a distribuidores de todo el país. El peso de 3 televisores y 5 reproductores es de 62.5 libras y el peso de 3 televisores y 2 reproductores es de 52 libras. Averigua el peso de cada televisor y de cada reproductor.

Problema 26 (5'08") Sinopsis:

Imagínate que vas al mercado a conseguir un poco de fruta fresca. En el momento en el que vas a pagar te das cuenta de que el cliente que atendieron antes compró 5 manzanas y 4 naranjas por 10 pesos, mientras que tú compras 5 manzanas y 5 naranjas por 11 pesos. ¿Podemos encontrar el precio de cada manzana y de cada naranja? Si es que sí, ¿cuál es la solución?. Si es que no, ¿por qué no puedes resolverlo?.

Problema 27 (6'03") Sinopsis:

Como regalo de cumpleaños, Zoe le dio a su sobrina una hucha electrónica, la cual muestra la cantidad total de dinero que contiene, así como la cantidad total de monedas. Después de depositar cierta cantidad de monedas de 5 centavos y 25 centavos, la hucha mostró lo siguiente:

Dinero: $2
Número de monedas: 16

¿Cuántas monedas de cada tipo puso en la hucha?

Problema 28 (4'17") Sinopsis:

Imagina que estás en una cafetería de París, tomando un café con tu mejor amigo. A un francés en la mesa de al lado le cobran 5.30 € por una taza de café y un pan de dulce. después, cuando tú pides la cuenta, a ustedes os cobran 14 € por dos tazas de café y dos panes de dulce. ¿Puedes obtener el precio de la taza de café y del pan de dulce? Si es que sí, ¿cuál es la solución?. Si es que no, ¿por qué no puedes resolverlo?.

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales

Actividad 1a Descripción:

Actividades en las que aprenderás y practicarás la resolución de problemas de distintos tipos mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actividad 1b Descripción:

Problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación Descripción:

Problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Problemas resueltos Descripción:

Problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

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Apéndice

Sistemas con mas de 2 incógnitas (36'12") Sinopsis:

Tutorial que explica la resolución de sistemas de ecuaciones con más de dos variables, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.

Sistemas cuadráticos (39'31") Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticos, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Sistemas_de_ecuaciones_de_primer_grado"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

-{{Menú Matemáticas 3ESO
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 {{p}}
-==Ecuación==
+{{Sistemas de ecuaciones de primer grado}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación''' es una igualdad entre expresiones algebraicas, en las que aparece una o más letras, llamadas incógnitas.{{p}}
-Una '''solución''' de una ecuación son los números que hacen que la igualdad sea cierta, al sustituir las incógnitas por dichos números.{{p}}
-Podemos tener ecuaciones con una incógnita, con dos incógnitas, etc.{{p}}
-}}
-'''Ejemplos:'''
-*Ecuación con una incógnita: <math>x^2+1=x-3\;\!</math>.
-*Ecuación con dos incógnitas: <math>x-2y=x^2+5\;\!</math>.
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-==Ecuación de primer grado==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de primer grado''' es aquella en la que las incognitas no están elevadas a ninguna potencia.{{p}}
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-'''Ejemplos:'''
-*Ecuación de primer grado con una incógnita: <math>3x-2=x+1\;\!</math>.
-*Ecuación de primer grado con dos incógnitas: <math>x-2=y+1\;\!</math>
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
-Toda '''ecuación de primer grado con una incógnita''' se puede reducir a la forma:
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-Si <math>a \ne 0</math>, la ecuación tiene como única solución: <math>x= -\cfrac{b}{a}</math>.
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita''|cuerpo=
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-Pulsa los botones para ver más ecuaciones.
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-==Ecuaciones equivalentes==
-{{Caja_Amarilla|texto=Dos ecuaciones son '''equivalentes''' si tienen la misma solución.}}{{p}}
-===Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones===
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-*'''Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad'''. Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.
-*'''Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero'''. Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.
-}}
-==Resolución de ecuaciones de primer grado==
-Para resolver una ecuación, hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita. Usaremos las transformaciones descritas en el apartado anterior.
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-Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.
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-|enunciado='''Actividad 2:''' Ecuaciones de primer grado con paréntesis (resueltas).
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-Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.
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-|enunciado='''Actividad 3:''' Ecuaciones de primer grado con denominadores (resueltas).
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-Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.
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-==Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado==
-Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que seguir los siguientes pasos:
-#Determinar la incógnita.
-#Expresar el enunciado del problema en lenguaje algebraico, es decir, escribir una ecuación en la que intervenga la incógnita.
-#Resolver la ecuación, es decir, halla el valor de la incógnita.
-#Dar la solución del problema, a partir del valor obtenido de la incógnita.
-<br>
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado''|cuerpo=
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Problemas resueltos.
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-Pulsa el botón EJEMPLO para ver más problemas.
-Pulsa el botón DATOS para ver otro problema similar, pero con datos diferentes.
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-==Ejercicios y problemas==
+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]
-===Ejercicios===
-===Problemas===

Sistemas de ecuaciones de primer grado

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Sistemas equivalentes

Número de soluciones de un sistema

Métodos de resolución de sistemas

Método grafico

Método de sustitución

Método de igualación

Método de reducción

Actividades

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Apéndice

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