Triángulos

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* '''Bisectrices e incentro''' * '''Bisectrices e incentro'''
Las tres '''bisectrices''' de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado '''incentro''', que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Las tres '''bisectrices''' de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado '''incentro''', que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.
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Triángulo

Tabla de contenidos

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos.

Nomenclatura:

  • En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: A, B, C.
  • Las mismas letras mayusculas, con un sombrero, para nombrar el ángulo:\hat A, \ \hat B, \ \hat C, aunque también son usuales las letras griegas: \alpha,\ \beta,\ \gamma.
  • El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: a, b, c; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: BC, AC, AB, las de los vértices contenidos en ese lado.

ejercicio

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:
  1. Sus tres ángulos suman 180º.
  2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
  3. Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
Demostración:

1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.

2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.

3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.

Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:

  • Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.
  • Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.
Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.

Clasificación de los triángulos

Según sus lados

  • Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
  • Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
  • Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
EquiláteroIsóscelesEscaleno

Según sus ángulos

  • Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
  • Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
  • Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos
Triángulo Rectángulo Triángulo Obtusángulo Triángulo Acutángulo
RectánguloObtusánguloAcutángulo

ejercicio

Actividad Interactiva: Clasificación de los triángulos

1. Actividades.
Actividad:
Utiliza la escena para contestar en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
  1. Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, ¿también lo es el tercero?
  2. Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles.
  3. ¿Puede ser un triángulo rectángulo y equilátero a la vez?.
  4. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 25º. ¿Cuánto mide el otro?
Arrastra los vértices para modificar el triángulo.

Construcción de triángulos

Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos. Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado:

  • Conocidos los tres lados.
  • Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
  • Conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Construcción de triángulos

1. Construcción de un triángulo conociendo los tres lados.
Actividad:
El proceso de construcción se muestra en la figura:

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

  1. Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
  2. Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado.
  3. El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.
2. Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Actividad:
El proceso de construcción se muestra en la figura:
  1. Se representa uno de los segmentos.
  2. Se traza el ángulo que forman los lados.
  3. Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
  4. Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.


3. Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.
Actividad:
El proceso de construcción se muestra en la figura:

La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

  1. Se construye el lado conocido.
  2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
  3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.


Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

  • Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
  • Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos.
  • Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos.

Rectas y puntos notables en un triángulo

  • Medianas y baricentro

La mediana de un triángulo es una recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

  • Alturas y ortocentro

La altura de un triángulo es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

  • Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado. Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).

  • Bisectrices e incentro

Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Elementos notables de un triángulo

1. Medianas y baricentro.
Actividad:
Se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. El baricentro, G, siempre está en el interior del triángulo.

Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.

El baricentro, suele denotarse por la letra G, Centro de Gravedad.

Como se ve en la figura, el segmento CG es de medida el doble que el segmento GM.

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

  1. Mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que GM=1,80 cm. En esa situación ¿Cuánto mide la mediana CM?
  2. ¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.
2. Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Actividad:
El proceso de construcción se muestra en la figura:
  1. Se representa uno de los segmentos.
  2. Se traza el ángulo que forman los lados.
  3. Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
  4. Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.


3. Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.
Actividad:
El proceso de construcción se muestra en la figura:

La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

  1. Se construye el lado conocido.
  2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
  3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.


ejercicio

Actividad Interactiva: ''

1. [1]
2. Alturas y ortocentro
3. Mediatrices y circuncentro
4. Bisectrices e incentro

Teorema de Pitágoras

ejercicio

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos

a2 + b2 = c2

donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.
Demostración:
Fíjate en la figuar de la derecha y observa como

ejercicio

Actividad Interactiva: Teorema de Pitágoras

1. Teorema de Pitágoras. Ternas pitagóricas
2. Aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios

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