Triángulos rectángulos (PACS)

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Revisión de 21:33 24 sep 2008

Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º (grados sexagesimales) o π/2 radianes.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

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En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos donde y son los catetos y la hipotenusa. Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración:

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Fíjate en la figuar de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado a + b, puede descomponerse en un cuadrado de lado c y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos a y b e hipotenusa c. La superficie del cuadrado grande de lado a + b es: La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es : Restando el área del cuadrado grande de lado a + b menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado c: Desarrollando el cuadrado del binomio: De donde obtenemos, simplificando:

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Otras demostraciones gráficas

Actividad Interactiva: Teorema de Pitágoras 1. Dado el triángulo de lados b=3, c=4 y a=5, comprueba el teorema de Pitágoras mediante el procedimiento gráfico de los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo. Actividad: Click aquí si no se ve bien la escena

Video: Pitágoras: mucho más que un teorema (25´)

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Sinopsis:

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Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Perolas Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos. Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitagoras viera la luz.Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.

Video:

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Actividades Interactivas: Aplicaciones del teorema de Pitágoras 1. Conocidos los catetos: a=4 cm. y b=5 cm., calcular la hipotenusa, c. Actividad: Usaremos el teorema de Pitágoras: Compruébalo en la escena siguiente: Click aquí si no se ve bien la escena 2. Conocido un cateto a=5 cm. y la hipotenusa c=8 cm., calcular el otro cateto, b. Actividad: Usaremos, de nuevo, el teorema de Pitágoras: Compruébalo en la escena siguiente: Click aquí si no se ve bien la escena 3. Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado. Actividad: Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Si tienes problemas para resolver el ejercicio, utiliza el botón de la parte inferior "pasos" para ir viendo el camino a seguir. Click aquí si no se ve bien la escena 4. Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=5 cm. y a=b=4 cm. Actividad: Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura. Click aquí si no se ve bien la escena 5. Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio. Actividad: Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Si tienes problemas para resolver el ejercicio, utiliza el botón de la parte inferior "pasos" para ir viendo el camino a seguir. Click aquí si no se ve bien la escena

Resolución de triangulos rectángulos

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un tirángulo rectángulo si conocemos:

• Dos lados
  • Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras
  • Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo

• Un ángulo y un lado
  • Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
  • El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo Tenemos este triángulo y conocemos