Fracciones y números decimales (2º ESO)

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Tabla de contenidos

(Pág. 59)

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Introducción

El siguiente videotutorial resume gran parte de lo que vamos a ver en este tema.

Paso de decimal a fracción y viceversa (11'04")     Sinopsis:

En este video vamos a ver cómo se transforma una fracción en un número decimal y también cómo se calcula la fracción generatriz de los números decimales.

Para saber más sobre: Números decimales.

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Paso de fracción a decimal

Aunque una fracción es un valor exacto y los números decimales a veces requieren tomar aproximaciones, muchas veces resulta más cómodo trabajar con decimales que con fracciones.

ejercicio

Procedimiento

Una fracción se puede expresar como un número decimal calculando su valor, es decir, dividiendo numerador entre denominador.

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Tipos de expresiones decimales de una fracción

La expresión decimal de una fracción puede ser:

  • Expresión decimal exacta: Si tiene un número finito de decimales.
  • Expresión decimal periódica pura: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten. La parte que se repite se llama periodo.
  • Expresión decimal periódica mixta: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten a partir de una cierta posición decimal. La parte que se repite se llama periodo y la parte decimal previa al periodo se llama anteperiodo.

nota
Observación

"El número decimal que resulta de dividir el numerador de una fracción entre su denominador es siempre exacto o periódico".

En efecto, piensa en el algoritmo de la división. Si tenemos la suerte de llegar a resto 0, el cociente será un decimal exacto. Si, por el contrario, no conseguimos que el resto sea 0, podemos bajar ceros del dividendo tantas veces como queramos. El asunto es que los restos que pueden aparecer en cada paso tienen que ser menores que el divisor, por tanto, hay un número limitado de restos posibles. Por ejemplo, si dividimos entre 4, los restos podrían ser 0, 1, 2 o 3. Entonces, si seguimos dividiendo (bajando ceros) y no conseguimos que el resto sea cero, en algún momento tendrá que repetirse un resto de entre todos los posibles y el cociente será un decimal periódico.

ejercicio
Ejemplos:
  • Decimal exacto:  \cfrac{53}{4}=13.25 \ ; \quad \cfrac{52}{100}=0.52
  • Decimal periódico puro:  \cfrac{2}{3}=0.6666...=0.\widehat{6}    (El periodo es 6)
  • Decimal periódico mixto:  \cfrac{5}{6}=0.8333...=0.8\widehat{3}    (El anteperiodo es 8 y el periodo es 3)

video
Paso de fracción a decimal
Tutorial 1 (7'40")     Sinopsis:

Cómo obtener la expresión decimal de una fracción. Ejemplos:

1. a) \cfrac{5}{4}\;          b) \cfrac{7}{6}

2. a) \cfrac{173}{5}\;         b) \cfrac{154}{45}\;         c) \cfrac{74}{33}\;

Tutorial 2 (21'03")     Sinopsis:

Tutorial en el que se da un rápido repaso a los distintos tipos de decimales y se explica el paso de una fracción a su expresión decimal equivalente (finito o periódico).

Ejercicio 1 (4'23")     Sinopsis:

Obtén la expresión decimal de \cfrac{3}{8}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (3'14")     Sinopsis:

Obtén la expresión decimal de \cfrac{7}{4}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 3 (5'18")     Sinopsis:

Obtén la expresión decimal de \cfrac{5}{12}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 4 (4'33")     Sinopsis:

Obtén la expresión decimal de \cfrac{7}{11}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 5 (4'39")     Sinopsis:

Obtén la expresión decimal de 3\begin{matrix} \frac{5}{11} \end{matrix}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 6 (10'03")     Sinopsis:

Transforma en decimales las siguientes fracciones:

a) \cfrac{2}{3};     b) \cfrac{3}{50};     c) \cfrac{7}{10};     d) \cfrac{4}{11};     e) \cfrac{15}{13}

Ejercicio 7 (9'47")     Sinopsis:

Transforma en decimales las siguientes fracciones:

a) \cfrac{5}{6};     b) \cfrac{17}{15};     c) \cfrac{19}{14};     d) \cfrac{23}{16}

Ejercicio 8 (10'03")     Sinopsis:

Transforma en decimales las siguientes fracciones decimales:

a) \cfrac{1}{10};     b) \cfrac{3}{10};     c) \cfrac{7}{10};     d) \cfrac{10}{10};    e) \cfrac{15}{10};

f) \cfrac{1}{100};g) \cfrac{5}{100};     h) \cfrac{35}{100};     i) \cfrac{60}{10};     j) \cfrac{125}{10};

k) \cfrac{3}{1000};     l) \cfrac{9}{1000};     m) \cfrac{12}{1000};     n) \cfrac{80}{1000};     o) \cfrac{125}{1000};     p) \cfrac{2400}{1000}

video
Paso de fracción a decimal
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad en la que podrás ver como se obtiene la expresión decimal de una fracción viendo el desarrollo de la división y los decimales que se obtienen en el cociente.
  2. Actividad en la que tendrás que elegir qué tipo de expresión decimal es la que te muestran en la escena.
Actividad 2     Descripción:
  1. Fracciones con expresiones decimales exactas.
  2. Actividad en la que tendrás que elegir qué tipo de expresión decimal es la que te muestran en la escena.
Autoevaluación     Descripción:

Convertir fracciones a decimales.

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Paso de decimal a fracción

Se llama fracción generatriz de un número decimal, a aquella que tiene como valor dicho número decimal.

nota
Observación

Toda fracción se puede pasar a forma decimal, sin embargo, lo contrario no es cierto: sólo se pueden pasar a fracción aquellos decimales que sean exactos o periódicos. Cuando el número de decimales es infinito y no periódico (número irracional), como ocurre con el número pi (π), no podemos expresarlo en forma de fracción.

Paso de decimal a fracción     Descripción:
  1. Actividad en la que podrás ver como se obtiene la fracción generatriz de una expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta.
  2. Actividad en la que tendrás que hallar la fracción generatriz de una expresión decimal.

video
Paso de decimal a fracción
Tutorial 1 (9'07")     Sinopsis:

Cómo obtener la fracción generatiz de un número decimal exacto o periódico (2 métodos) con ejemplos:

1. a) 1.37\;          b) 28.1\;         c) 3.\widehat{25}\;         d) 2.3\widehat{4}\;

2. a) 3.45\widehat{4}\;         b) 0.4\widehat{82}\;         c) 12.\widehat{4}\;

Tutorial 2 (18'10")     Sinopsis:

Tutorial en el que se da un rápido repaso a los distintos tipos de decimales y se explica el paso de un número en expresión decimal a su expresión fraccionaria equivalente, tanto en el caso de decimales finitos como periódicos.

ejercicio

Paso de decimal exacto a fracción

La fracción generatriz de un decimal exacto tiene en el numerador la expresión decimal sin la coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Demostración:

Es el caso más sencillo. Estos decimales tienen un número finito de cifras decimales. Sólo tenemos que "mover" la coma a la derecha tantos puestos como sea necesario. Para "mover" la coma basta con multiplicar por una potencia de 10. Si queremos mover un puesto, multiplicamos por 10, si son dos puestos, por 100, tres puestos, por 1000... Pero no podemos simplemente multiplicar, porque así cambiaría el valor del número. Hay que "compensar" esa multiplicación con su operación opuesta, la división. Lo que hacemos es poner como denominador la misma potencia de 10 por la que hemos multiplicado el número. Después sólo quedaría simplificar la fracción

También podemos proceder siguiendo el siguiente algoritmo:

  1. Sea N el número decimal exacto cuya fracción generatriz queremos hallar.
  2. Multiplicamos N por 10 elevado al número de decimales.
  3. Despejamos N para obtener la fracción.

ejercicio
Ejemplos: 

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video
Paso de decimal exacto a fracción
Tutorial 1 (4'52")     Sinopsis:

Paso de decimal exacto a fracción y su simplificación.

Tutorial 2 (6'29")     Sinopsis:

Cómo obtener la fracción generatiz de un número decimal exacto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (1'11")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.3\;

Ejercicio 2 (1'35")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.05\;

Ejercicio 3 (1'44")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 1.346\;

Ejercicio 4 (5'56")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números:

a) 0.125\;
b) 3.16\;
Ejercicio 5 (9'16")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números:

a) 0.54\;;     b) 0.36\;;     c) 3.4\;;     d) 2.7\;;     e) 5.2\;;     f) 4.7\;;     g) 0.25\;;     h) 0.75\;;     i) 3.25\;;     j) 2.34\;;     k) 5.6\;;     l) 2.3\;;
Ejercicio 6 (3'57")     Sinopsis:

Transforma en fracción los siguientes números decimales exactos:

0.4; \ 0.6; \ 0.9; \ 1.3; \ 1.8; \ 0.04; \ 0.20; \ 0.88; \ 1,15; \ 3.04; \ 3.005; \ 8.012; \ 6.124; \ 80.080\;

Ejercicio 7 (1'09")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.8\;

Ejercicio 8 (1'25")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.36\;

Ejercicio 9 (2'46")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.0727\;

Ejercicio 10 (2'46")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.15\;

Ejercicio 11 (2'37")     Sinopsis:

Convierte en número mixto 12.98\;

Paso de decimal exacto a fracción     Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal exacto a fracción.

ejercicio

Paso de decimal periódico puro a fracción

La fracción generatriz de un número decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es la parte entera del número; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Demostración:

Este caso es un poco más complicado. Como estos números tienen infinitas cifras decimales, no podemos simplemente "mover" la coma. La idea es buscar otro decimal con el mismo período a partir del decimal que tenemos. Una vez hecho esto, restaremos esos decimales con idéntico período, de forma que el resultado sea un entero. La única "pega" es que tendremos que resolver una pequeña ecuación.

El algoritmo es el siguiente:

  1. Sea N el número decimal cuya fracción generatriz queremos hallar.
  2. Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el periodo, lo que permite obtener otro número con la misma parte decimal.
  3. Restamos N y el número obtenido en el paso anterior.
  4. Despejando N llegamos a la fracción buscada.

ejercicio
Ejemplos: 

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video
Fracción generatriz de un número decimal periódico puro
Ejercicio 1 (8'39")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números periódicos puros (2 métodos):

a) 1.6666...
b) 2.646464...
Ejercicio 2 (3'54")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de número periódico puro 0.3636... (Método largo)

Ejercicio 3 (8'11")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos puros (Método corto):

a) 0.888...
b) 0.212121...
c) 0.537537537...
d) 2.444...
e) 10.484848...
Ejercicio 4 (5'07")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números (Método corto):

a) 0.363636...
b) 2.045045...
Ejercicio 5 (1'53")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.\widehat{12} (Método corto)

Ejercicio 6 (1'47")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 1.\widehat{51} (Método corto)

Ejercicio 7 (2'17")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 2.\widehat{009} (Método corto)

Ejercicio 8 (11'14")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz por el método corto de:

a) \ 2.\widehat{3} \, ; \, b) \ 3.\widehat{2} \, ; \, c) \ 0.\widehat{1} \, ; \, d) \ 0.\widehat{4} \, ; \, e) \ 3.\widehat{21} \, ; \, f) \ 2.\widehat{34} \, ; \, g) \ 0.\widehat{25} \, ; \, h) \ 0.\widehat{26} \, ; \,

i) \ 1.\widehat{05} \, ; \, j) \ 2.\widehat{36} \, ; \, k) \ 0.\widehat{27} \, ; \, l) \ 0.\widehat{36} \, ; \, m) \ 1.\widehat{32} \, ; \, n) \ 2.\widehat{34} \, ; \, o) \ 3.\widehat{35}

Paso de decimal periódico puro a fracción     Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal periódico puro a fracción.

ejercicio

Paso de decimal periódico mixto a fracción

La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es el número escrito sin la coma quitándole la parte decimal periódica. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperiodo.

Demostración:

Este caso es aún más complicado. La idea es buscar dos decimales con el mismo período a partir del decimal que tenemos. Una vez hecho esto, restaremos esos decimales con idéntico período, de forma que el resultado sea un entero. La única "pega" es que tendremos que resolver una pequeña ecuación.

El algoritmo es el siguiente:

  1. Sea N el número decimal cuya fracción generatriz queremos hallar.
  2. Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el periodo más el anteperiodo.
  3. Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el anteperiodo, lo que permite obtener otro número con la misma parte decimal que el del paso 2.
  4. Restamos los números obtenidos en los pasos 2 y 3.
  5. Despejando N llegamos a la fracción buscada.

ejercicio
Ejemplos: 

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video
Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto
Ejercicio 1 (9'35")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (2 métodos):

a) 2.46666...
b) 3.246262626...
Ejercicio 2 (3'16")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de número periódico mixto 0.4333... (Método largo)

Ejercicio 3 (11')     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (Método corto):

a) 0.5111...
b) 0.935555...
c) 3.8121212...
d) 1.06434343...
Ejercicio 4 (9'47")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (Método corto):

a) 0.3851851...
b) 4.1244444...
Ejercicio 5 (2'15")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.3\widehat{5} (Método corto)

Ejercicio 6 (2'27")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 0.1\widehat{84} (Método corto)

Ejercicio 7 (2'48")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de 4.099\widehat{129} (Método corto)

Ejercicio 8 (9'17")     Sinopsis:

Halla la fracción generatriz por el método corto de:

a) \ 0.1\widehat{3} \, ; \, b) \ 0.2\widehat{4} \, ; \, c) \ 0.3\widehat{5} \, ; \, d) \ 1.1\widehat{3} \, ; \, e) \ 1.2\widehat{3} \, ; \, f) \ 1.5\widehat{2} \, ; \, g) \ 3.52\widehat{3}

h) \ 1.37\widehat{4} \, ; \, i) \ 3.2\widehat{63} \, ; \, j) \ 1.6\widehat{32} \, ; \, k) \ 3.5\widehat{63} \, ; \, l) \ 1.1\widehat{51}

Paso de decimal periódico mixto a fracción     Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal periódico mixto a fracción.

Autoevaluación: Fracción generatriz     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre fracciones generatrices.

ejercicio

Ejemplos: Paso de decimal a fracción

Expresa en forma de fracción los números decimales:

a) 2.5 \;
b) 15,\widehat{34}
c) 12,3 \widehat{67}
Solución:

a) N=2.5 \rightarrow 10N=25 \rightarrow N=\cfrac{25}{10}

b) \left . \begin{matrix} N=15,3434 \cdots \\100N=1534,3434 \cdots \end{matrix} \right \} Restando: 100N-N=1534-15;\quad 99N=1519;\quad N=\cfrac{1519}{99}

c) \left . \begin{matrix} N=12,36767 \cdots \\10N=123,6767 \cdots \\1000N=12367,6767 \cdots \end{matrix} \right \} Restando: 1000N-10N=12367-123;\quad 990N=12244;\quad N=\cfrac{12244}{990}

Calculadora

Calculadora: Fracciones. Paso a decimal y viceversa

Para introducir fracciones usaremos la tecla Fracción. Esta tecla se usará también para pasar a decimal.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {1}{3}


  • Procedimiento: 1\;\! Fracción 3\;\! Obtener resultado (Para pasar a decimal pulsaremos Fracción y para pasar de nuevo a fracción también pulsaremos la misma tecla)


  • Solución: 1 \lnot 3 \ (= 0.33333)\;\!

wolfram
Paso de decimal a fracción
wolfram

Actividad: Expresión decimal de una fracción

Expresa en forma de fracción:

a)\ 3,4 \widehat{56} \quad b)\ 12, \widehat{3} \quad c)\ 56,02

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Rationalize[3.45656...]     b) Rationalize[12.33...]      c) Rationalize[56.02]
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Actividades

video
Ejercicios
Ejercicio 1 (8'43")     Sinopsis:

1) Aproxima al entero o decimal exacto más cercano:

a) 0.999...\; ;     b) 1.999...\; ;     c) 2.999...\; ;     d) 3.999...\; ;     e) 5.999...\; ;     f) 6.999...\; ;     g) 2.3999...\; ;

h) 4.5999...\; ;     i) 6.7999...\; ;     j) 5.61\widehat{9} ;     k) 3.26\widehat{9} ;     l) 1.03\widehat{9}

2) Halla las siguiente división: 0.\widehat{28}:0.\widehat{2}>.

Ejercicio 2 (9'52")     Sinopsis:

Halla:

a) 0.\widehat{32}:0.\widehat{5}
b) 0.\widehat{6}:0.\widehat{3}
c) 0.5\widehat{3}:2
d) 0.2\widehat{61}:3
e) 0.3\widehat{14}:6

Actividad     Descripción:

Obtención de fracciones generatrices planteando ecuaciones.

Autoevaluación     Descripción:

Obten la fracción generatriz de un número decimal:

Pulsa el botón "EJERCICIO" para generar una fracción. Debes averiguar de que tipo de expresión decimal se trata sin hacer la división. Luego halla su expresión decimal.

Lo haces en tu cuaderno, escribe la solución en la casilla "Expresión Decimal" y pulsa el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

(Pág. 60)

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Los números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

ejercicio

Obseva que:

  • Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}
  • Todos los números decimales exactos o periódicos se pueden expresar en forma de fracción. Por tanto, son números racionales.
  • Cuando el número de decimales es infinito y no periódico, como ocurre con el número pi (π), no podemos expresarlo en forma de fracción. A estos números los llamaremos irracionales.

ejercicio

Proposición

La suma y el producto de dos números racionales es otro número racional.

Demostración:
Demostración: La suma y el producto de dos racionales es racional (4´05")     Sinopsis:

Demostración de que la suma y el producto de dos racionales es racional.

El conjunto de los números racionales (7'42")     Sinopsis:

El conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales (4'38")     Sinopsis:

El conjunto de los números racionales

Números racionales e irracionales (3'08")     Sinopsis:

El conjunto de los números racionales.

Números racionales e irracionales (8'58")     Sinopsis:

Introducción a números racionales e irracionales.

Representación de los números racionales mediante diagramas de Vennportaleducativo.net
Aumentar
Representación de los números racionales mediante diagramas de Venn

portaleducativo.net
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Ejercicios

Ejercicios     Descripción:

Ejercicios sobre conversión de forma fraccionaria a decimal y sobre obtención de la fracción generatriz de un número decimal.

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios sobre fracciones y decimales.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fracciones y números decimales

(Pág. 60)

1; 2; 4

3

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