Las matemáticas islámicas (c. 800-1500)

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El Imperio islámico árabe establecido a lo largo de Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Península Ibérica, y partes de la India, en el siglo VIII, realizó importantes contribuciones a las matemáticas. Aunque la mayoría de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos eran escritos por los árabes, ya que, al igual que la condición del griego en el mundo helenístico, el árabe fue utilizado como la lengua escrita de los árabes no-académicos de todo el mundo islámico de esa época. Además de los árabes, muchos matemáticos islámicos importantes eran persas.

• En el siglo IX, Al-Jwarizmi escribió varios libros importantes sobre la numración arabigo-hindú y sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el Cálculo con Números Hindues, escrito alrededor del año 825, junto con la labor de Al-Kindi, fueron fundamentales en la difusión de las matemáticas y los númeos de la India hacia Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinization de su nombre, Algoritmi. Al-Khwarizmi es a menudo llamado el "padre del álgebra", por sus contribuciones fundamentales a este campo. La palabra "álgebra" se deriva del título de una de sus obras, Al-Kitab al-mukhtaṣar fi hīsāb al-Gabr wa'l-muqābala (El Libro Recopilatorio sobre el Cálculo por Compleción y Equilibrio). En él introdujo el método fundamental de la "compeción" y el "equilibrio", refiriéndose a la cancelación de términos equivalentes en ambos lados de una ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi originalmente describió como al-Jabr. Dio una exhaustiva explicación de la solución algebraica de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas, y fue el primero en enseñar álgebra en su forma elemental y por cuenta propia. Su álgebra ya no se trata de "una serie de problemas a resolver", sino de una exposición que empieza con unos términos primitivos en los que las combinaciones deben dar lugar a todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. También estudió una ecuación por su propia cuenta y "de forma genérica", en la medida en que no se limita a buscar sólo la solución de un problema, sino que se centra, de forma específica, en definir una infinita clase de problemas.

• Posteriores aportaciones al álgebra fueron hechas por Al-Karaji en su tratado al-Fakhri, donde extiende la metodología para incorporar las potencias y raíces enteras de cantidades desconocidas. La primera demostración por el método de inducción matemática que se conoce, aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor de 1000 d.C., quien la utilizó para demostrar el teorema binomial, el triángulo de Pascal, y la suma de los cubos de enteros. El historiador de la matemática, F. Woepcke , elogió a Al-Karaji por ser el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico.

• En el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático que calculó la fórmula de la suma de las potencias cuartas, utilizando un método que es fácilmente generalizable para la determinación de la fórmula general para la suma de potencias enteras cualesquiera. Él realizó una integración para encontrar el volumen de un paraboloide, y fue capaz de generalizar su resultado a las integrales de polinomios de hasta cuarto grado. Por lo tanto, estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no estaba interesado en polinomios de grado superior a cuatro.

• A fines del siglo XI, Omar Khayyam escribió Debates sobre las Dificultades de Euclides, un libro sobre defectos en Los Elementos de Euclides, en particular del 5º postulado, el postulado de las paralelas, sentando así las bases de la geometría analítica y de la geometría no euclídea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica de ecuaciones cúbicas. Tuvo mucha influencia en la reforma del calendario.

• A fines del siglo XII, Sharaf al-Din al-Tusi introdujo el concepto de función, y fue el primero en descubrir la derivada de polinomios cúbicos. El su Tratado sobre Ecuaciones desarrolló conceptos relacionados con el cálculo diferencial, como la derivada de una función y los valores máximos y mínimos de las curvas, con el fin de resolver ecuaciones cúbicas que pudieran no tener soluciones positivas.

• En el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) hizo avances en trigonometría esférica. También escribió influyentes trabajos sobre el 5º postulado de Euclides.

• En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calcula el valor de π con 16 decimales. Kashi también tenía un algoritmo para calcular raíces enésimas, que era un caso particular de los métodos dados muchos siglos después por Ruffini y Horner. Otros matemáticos musulmanes notables son: Al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil y Abu Sahl al-Kuhi.

Otros logros matemáticos de los musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación decimal para los números arábigos, el descubrimiento de todas las funciones trigonométricas modernas, a al-Kindi de la introducción del criptoanálisis y del análisis de frecuencias, el primer intento de una geometría no euclidea por Sadr al-Din, el desarrollo de una notación algebraica por al-Qalasādī, y muchos otros avances en álgebra, aritmética, cálculo, criptografía, geometría, la teoría de los números y la trigonometría.

Durante el tiempo del Imperio Otomano, a partir del siglo XV, el desarrollo de la matemática islámica se estancó.