Lenguaje algebraico. Utilidad (1º ESO)

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Tabla de contenidos

     "La Filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante nuestros ojos; quiero decir, el Universo; pero no se puede entender si antes no aprendemos su lenguaje y distinguimos los símbolos en el que está escrito. Este libro está escrito en el lenguaje de las matemáticas ... sin las cuales uno deambula vanamente en un obscuro laberinto."

Galileo Galilei

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Introducción

Hasta ahora nos ha bastado con utilizar números (enteros, fracciones, decimales...) y operaciones entre ellos para resolver multitud de problemas. Sin embargo, el lenguaje matemático no puede limitarse a números y operaciones. En muchas ocasiones necesitaremos pasar de lo concreto a lo general (abstracción) para intentar resolver no sólo un problema, sino un conjunto de problemas del mismo tipo. Muchas situaciones requieren manejar una infinidad de números al mismo tiempo, y como mencionarlos a todos, uno a uno, no es una opción, necesitamos una herramienta que nos facilite la tarea.

Abstracción (7'01")     Sinopsis:

El concepto de abstracción está inmerso en nuestra vida diaria cuando utilizamos palabras o símbolos para referirnos a los objetos que nos rodean.

Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-JwarizmiWikipedia
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Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi

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Los primeros matemáticos que intentaron describir métodos generales para la resolución de problemas se apoyaron en el lenguaje convencional. La idea era redactar los pasos para la solución de un problema utilizando las palabras del idioma propio. Fíjate en el siguiente extracto de una traducción del Libro del Álgebra, escrito por el matemático Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, que vivió entre finales del siglo VIII y comienzos del siglo IX:

"Un hombre muere y deja dos hijos, y lega a un amigo un tercio del capital. Y deja diez dirhams de capital y una deuda de diez dirhams a uno de sus hijos. La solución está en tomar como cosa lo extraído de la deuda, y lo sumamos sobre el capital (que es diez dirhams), y tenemos diez más la cosa. Después pones aparte un tercio (porque legó un tercio de su capital), que es tres dirhams más un tercio más un tercio de la cosa..."

El fragmento está incompleto, pero más allá de eso, resulta difícil seguir su explicación, pese a que el objetivo de la obra era facilitar la transmisión de los métodos de resolución de problemas conocidos en la época. Sí puedes apreciar que utiliza varias veces la palabra "cosa" para referirse a lo que se quiere calcular. Es lo que nosotros llamamos en la actualidad incógnita o variable. Esta obra fue uno de los primeros pasos en la creación del lenguaje algebraico, que ha cambiado mucho a lo largo del tiempo, hasta llegar a lo que es hoy en día, un lenguaje universal (no depende de traducciones, es igual en cualquier parte del mundo) y conciso (elimina todos lo elementos superfluos, propios del lenguaje habitual, y se centra en los elementos necesarios para resolver el problema que corresponda).

Los orígenes del álgebra (7'19")     Sinopsis:

Un poco de historia sobre los orígenes del álgebra.

Es difícil definir el lenguaje algebraico con pocas palabras. Podríamos decir, por ejemplo, que es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. Es una definición demasiado amplia, pero lo que realmente nos interesa es aprender a usarlo. Muchos de esos símbolos y reglas ya los conoces (los números, el orden de las operaciones, las propiedades de las operaciones, ...) y otros los estudiaremos en breve (monomios, polinomios, operaciones con polinomios, ...). (Extraido de aquí)

¿Qué es el álgebra? (2'38")     Sinopsis:

La forma más sencilla de entender el álgebra.

Empecemos el tema con un toque divertido:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Expresiones Algebraicas (9'54")     Sinopsis:

Troncho y Poncho nos explican las expresiones algebraicas y las ecuaciones.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

Para empezar     Descripción:
  • Averigua el valor de cada una de las letras que aparecen en la escena.
  • El sistema de numeración romano utilizaba letras para representar números. Aquí podrás recordarlo.

(Pág. 170)

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Uso de letras en lugar de números

Muchas veces, las Matemáticas requieren trabajar con números cuyo valor es desconocido o variable. En tales casos, los números se representan mediante letras y se operan con ellas utilizando las mismas reglas que cuando trabajamos con números. Estamos traduciendo al "lenguaje de las Matemáticas".

Llamaremos lenguaje algebraico al conjunto de símbolos (números, letras, símbolos de operación) y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. De su estudio se encarga la parte de las matemáticas denominada álgebra.

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Cómo se traduce al lenguaje algebraico

Al pasar del lenguaje convencional al lenguaje algebraico, debemos tener en cuenta algunas cosas:

  • Los elementos desconocidos o aquellos que no tienen un valor fijo (variables) se representan mediante letras, mientras que aquellos que tienen su valor completamente determinado (constantes) se suelen expresar con números.
  • Si un enunciado habla de dos números que pueden ser diferentes, es necesario usar una letra distinta para cada uno. Cuando una letra aparece repetida en un mismo enunciado, se entiende que son varias referencias a un mismo número.
  • Las relaciones entre números y variables se expresan mediante operaciones matemáticas.

video
Variables
Tutorial 1a (3'19")     Sinopsis:

¿Qué es una variable?

Tutorial 1b (3'19")     Sinopsis:

¿Para qué todas esas letras en álgebra?

Tutorial 1c (4'59")     Sinopsis:

¿Por qué no usamos el signo de multiplicación al escribir variables?

ejercicio
Ejemplos:

Veamos algunas situaciones en la que resulta conveniente recurrir al lenguaje algebraico:

  • Expresión de propiedades o reglas

Por ejemplo, la propiedad conmutativa del producto de dos números dice que "el orden de los factores no altera el producto". Ésto lo podemos expresar usando letras, de la siguiente manera:

a \cdot b = b \cdot a \;

La regla de la división dice que "el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto". Ésto lo podemos expresar usando letras, de la siguiente manera:

D= d \cdot c +r \;
  • Expresión de fórmulas

Por ejemplo, la fórmula del área del triángulo dice que "el área de un triángulo es igual a la base por la altura partido por 2", que podemos expresar con letras:

A= \cfrac{b \cdot a}{2}\;

  • Generalización de relaciones numéricas

Si consideramos la siguiente sucesión numérica

1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \cdots \;

la expresión n^2\; sirve para generalizar sus términos, de manera que, si yo quiero obtener el término que ocupa el séptimo lugar, tan solo tendré que sustituir la letra n\; por el número 7,

7^2 = 49\;
  • Expresión de números desconocidos y planteamiento de ecuaciones

Por ejemplo, "la suma de dos números consecutivos es igual a 21" lo podemos expresar

x+(x+1)=21\;

donde estamos utilizando la letra x\; para representar al primer número y la expresión x+1\; para representar al segundo número.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Traducir al lenguaje algebraico

Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones del lenguaje habitual:

a) El doble de un número menos cuatro unidades.
b) La mitad de sumarle 5 al triple de un número.
c) El perímetro y el área de un terreno rectangular.
Solución:

a) Si llamamos x\;\! al número, entonces el doble del número menos cuatro unidades es 2x-4\;.

b) Llamando x\;\! al número, la mitad de sumarle 5 al triple de dicho número es \cfrac{3x+5}{2}

c) Si suponemos que el terreno rectangular mide x\;\! de largo e y\;\! de ancho, tenemos:

  • Perimetro: 2x+2y\;\!
  • Area: x \cdot y

video
Traducir al lenguaje algebraico
La belleza el álgebra (10'08")     Sinopsis:

"La Filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante nuestros ojos; quiero decir, el Universo; pero no se puede entender si antes no aprendemos su lenguaje y distinguimos los símbolos en el que está escrito. este libro está escrito en el lenguaje de las matemáticas ... sin las cuales uno deambula vanamente en un obscuro laberinto." (Galileo Galilei)

Tutorial 1 (5'04")     Sinopsis:

Paso de lenguaje habitual a lenguaje algebraico y viceversa.

Tutorial 2 (4'59")     Sinopsis:

Vamos a ver la diferencia entre el lenguaje aritmético y el lenguaje algebraico

Tutorial 3 (16'35")     Sinopsis:

Cómo se traducen expresiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y su uso en el planteamiento de ecuaciones.

Tutorial 4 (10'22")     Sinopsis:

Cómo se traducen expresiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

Tutorial 5 (6'34")     Sinopsis:

Cómo se traducen expresiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

Tutorial 6a (2'46")     Sinopsis:

Letras en lugar de números. El lenguaje algebraico es la base que te permitirá plantear ecuaciones para resolver problemas.

Tutorial 6b (3'43")     Sinopsis:

Cómo se traducen expresiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y su uso en el planteamiento de ecuaciones.

Ejercicio 1a (11'29")     Sinopsis:

Expresa en lenguaje algebraico:

1) El doble de x.
2) El triple de y.
3) El doble de x más el triple de y.
4) El triple de x más el cuadrado de y.
5) La suma de x e y es 10.
6) El producto de x y de y es 24.
7) El cuadrado de x es 16.
8) El doble de x menos 5 es igual a 17.
9) El valor de x kg de naranjas a 2 euros el kilo.
10) El valor de y kg de mandarinas a 3 euros el kilo.
11) El valor de x kg de naranjas a 2 euros el kilo más y kg de mandarinas a 3 euros el kilo.
12) El valor de a metros de cinta a 1 euro el metro.
13) Cinco multiplicado por n más tres.
14) Seis multiplicado por ocho, menos n.
15) El doble de x, más uno, es quince.
Ejercicio 1b (11'47")     Sinopsis:

Expresa en lenguaje algebraico:

16) El triple de x, menos uno, es veintiseis.
17) El cuadrado de x es igual a su doble.
18) El cubo de x es igual a su triple.
19) Cuatro multiplicado por la suma de x más y es igual a setenta y dos.
20) El triple de x, menos ocho, es igual a diez.
21) El número x es tres unidades mayor que y.
22) El número x es 3 unidades menor que el número y.
23) El doble de x es 5 veces el número y.
24) El número x es el doble del número y.
25) El triple de x es igual al doble de y.
26) El doble de a menos uno es igual al número b.
27) x es múltiplo de y.
28) El cuadrado de un número es igual a 225.
29) El cubo de un número es igual a 27.
30) La mitad de un número más la quinta parte del mismo número.
31) El cuadrado de un número más el cubo del mismo número.
32) El triple de x más el cuadrado de y más 5.
33) La mitad de la edad de Luis.
33) La mitad de la edad de Luis es 8.
35) El cuadrado de x es menor que 26.
36) La suma del cuadrado de un número y 30 es 46.
Ejercicio 2 (1'24")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

La mitad de un número más el cuadrado del mismo.
Ejercicio 3 (1'24")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Un número más seis, menos 15, es igual al cuadrado de otro número.
Ejercicio 4 (2'02")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

La octava parte de un número es igual a un tercio de la suma de otros dos.
Ejercicio 5 (12'02")     Sinopsis:

Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches.
b) Número de céntimos necesarios para cambiar por x euros.
c) Número de patas que hay en un corral con a gallinas y b patos.
d) Número de personas que hay en una habitación después de llegar 2.
e) Número de cromos que me quedan después de perder 2 en un juego.
f) La edad de un padre es triple que la del hijo.
g) Un número más 3 unidades.
h) Un número menos 7 unidades.
i) La mitad de un número.
j) El doble de un número menos 3 unidades.
k) Restar la mitad de un número a 2.
l) Añadir 8 al doble de un número.
m) El doble de un número menos su mitad.
n) Dos números pares consecutivos.
o) Dos ángulos de un triángulo que se diferencian en 20º.
p) La tercera parte de un número más su quinta parte.
q) Número de personas casadas después de celebrarse x matrimonios.
r) Dos quintos de un número.
s) El triple de un número más 1.
t) Un ciclista ha recorrido 87 km, ¿cuánto le queda para la meta?
u) La edad de Pedro hace 4 años.
v) La edad de Juan dentro de 15 años.
w) La cuarta parte de una cantidad de dinero más 50.
x) Restar a la quinta parte de un número 4 unidades.
y) Dos números se diferencian en 5 unidades.
z) Mi padre me da el doble de dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora?
a') Dos números impares consecutivos.
b') Distancia recorrida por un coche en 6 horas.
Ejercicio 6 (1'29")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Pablo tenía "x" dólares, cobró "m" dólares y le regalaron "z" dólares.¿Cuánto tiene Pablo?
Ejercicio 7 (1'08")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Se compraron (m-1) vacas por 2000 dólares.¿Cuál es el precio de cada vaca?
Ejercicio 8 (1'30")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Compré "n" sombreros por "x" dólares. ¿A cómo habría salido cada sombrero si hubiera comprado 2 sombreros menos por el mismo precio?
Ejercicio 9 (1'39")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Tenía "x" dólares y me pagaron "n". Si el dinero que tengo lo empleo todo en comprar (m-1) libros, ¿a cómo sale cada libro?
Ejercicio 10 (2'37")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

José tiene "n" dólares; Juan tiene la tercera parte de la de José; Ana la cuarta parte del duplo de lo de José. la suma de lo que tienen los tres es menor que 3000 dólares. ¿Cuánto falta a esta suma para ser igual a 3000 dólares?
Ejercicio 11 (2'21")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

La suma de tres números pares consecutivos es igual al triple del menor, más las tres cuartas partes del mayor.
Ejercicio 12 (1'42")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

¿Cuál es el largo de un rectángulo, si se sabe que el largo es tres veces su ancho?
Ejercicio 13 (1'27")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

El doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete.
Ejercicio 14 (1'10")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

El cuadrado de la suma de dos números es igual a 49.
Ejercicio 15 (1'48")     Sinopsis:

Escribe en lenguaje algebraico:

Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su inverso equivale a 10.
Ejercicio 16 (6'06")     Sinopsis:
  1. Phil recibió un premio de x pesos en un torneo de póker. El torneo le costó 100 pesos de entrada. Escribe la expresión que represente las ganancias netas de Phil en el torneo.
  2. Susie participó en una carrera. Corrió a 5 millas por hora y tardó t horas en completar la carrera. Escribe la expresión que represente el total de millas de la carrera.
  3. Hillary hizo 48 galletas de chocolate e y galletas de azúcar. Escribe la expresión que represente el número total de galletas que hizo Hillary.
  4. Ethan patinó un total de 623 km en d días. Cada día patinó la misma distancia. Escribe la expresión que represente el total de kilómetros que patinó Ethan cada día.
Ejercicio 17 (8'02")     Sinopsis:
  1. El coste de una visita al dentista es de $50 y el precio de cada empaste es $100. Si el dentista encuentra n caries que empastar, ¿Escribe la expresión que represente el coste total de la visita.
  2. Hay c jugadores en el equipo de hockey Pumas. El equipo anotó un total de 36 goles esta temporada. Uno de los jugadores, Matthew, anotó dos goles más que el promedio de goles por jugador. Escribe la expresión de los goles que anotó Matthew.
  3. Hannah tiene 127 libros en su colección. Su escuela organizó una donación de libros. hay z estudiantes en la escuela y planean donar la misma cantidad de libros cada uno y llegar a un total de 300. Escribe la expresión que representa el número de libros que tendrá Hannah en su colección después de hacer la donación.
  4. Helena perdió sus canicas, pero luego las encontró y las puso en 4 bolsas con m canicas en cada bolsa. Si le sobraron 3 canicas, escribe la expresión que representa el número total mde canicas que tiene Helena.
Ejercicio 18 (1'42")     Sinopsis:

El guapo Jack va a comprar un poni de diamantes. El poni cuesta P pesos, y Jack tienen que pagar un impuesto del 25% sobre los ponis de diamantes. Haz coincidir las expresiones dadas (ver video) con sus significados.

Ejercicio 19 (2'41")     Sinopsis:

Donovan come 2 barras de granola y un vaso de zumo de naranja como desayuno cada mañana. El precio de una barra de granola es B y el precio de un vaso de jugo es J. hay diferentes formas de expresar el coste del desayuno de Donovan durante una semana. Junta las expresiones dadas (ver video) con sus descripciones correspondientes.

Ejercicio 20 (1'43")     Sinopsis:

Escribe un enunciado para la siguiente expresión algebraica: n+(n+1)+(n+2)\;

Ejercicio 21 (1'17")     Sinopsis:

Escribe un enunciado para la siguiente expresión algebraica: n^2-2n\;

Ejercicio 22 (6'45")     Sinopsis:

Sean "x", "y" y "z" números enteros:

37) Expresa con ellos la propiedad conmutativa de la suma.
38) Expresa con ellos la propiedad conmutativa del producto.
39) Expresa con ellos la propiedad asociativa de la suma.
40) Expresa con ellos la propiedad asociativa del producto.
41) Expresa con ellos la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
42) Expresa con ellos la propiedad distributiva del producto respecto de la resta.
43) Expresa el cuadrado de x más el cuadrado de y más el cuadrado de z.

video
Traducir al lenguaje algebraico
Actividad 1a     Descripción:

Aprende a manejar expresiones algebraicas

Actividad 1b     Descripción:
Actividad 2a     Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás la traducción de enunciados al lenguaje algebraico.

Actividad 2b     Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás la traducción de enunciados al lenguaje algebraico.

Actividad 3a     Descripción:

Cómo escribir expresiones básicas con variables.

Actividad 3b     Descripción:

Cómo escribir expresiones con variables.

Actividad 3c     Descripción:

Problemas verbales sobre escritura de expresiones básicas.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Cómo escribir expresiones básicas con variables

Autoevaluación 1b     Descripción:

Cómo escribir expresiones con variables

Autoevaluación 1c     Descripción:

Problemas verbales sobre escritura de expresiones básicas.

Autoevaluación 1d     Descripción:

Problemas verbales sobre escritura de expresiones.

Autoevaluación 1e     Descripción:

Interpreta expresiones algebraicas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cómo se traducen enunciados al lenguaje algebraico.

Autoevaluación 3a     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cómo se traducen enunciados al lenguaje algebraico.

Autoevaluación 3b     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cómo se traducen enunciados al lenguaje algebraico.

Autoevaluación 3c     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cómo se traducen enunciados al lenguaje algebraico.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cómo se traducen enunciados al lenguaje algebraico.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Uso de letras en vez de números

(Pág. 171)

1, 3, 4, 5, 6

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