Ley de Laplace (3ºESO)

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Tabla de contenidos

1 Sucesos equiprobables
2 Ley de Laplace
3 Propiedades de la probabilidad
4 Probabilidad experimental. Simulación
5 Actividades y videotutoriales

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Sucesos equiprobables

Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de que ocurran al realizar un experimento aleatorio. En caso contrario se dice que son no equiprobables.

Actividad: Sucesos equiprobables Descripción:

Aquí tenemos una simulación de un dado tetraédrico. Tiene cuatro caras, y el número que contabilizamos como que ha salido es el de la base. En la escena se supone que hemos lanzado una vez el dado y ha salido el número que se indica. Sigue las siguientes instrucciones y contesta a las preguntas que se te plantean a continuación.

Instrucciones:

Fíjate en el número que aparece en la base del tetraedro. Ése es el número que sale cada vez que "lanzamos" el dado.
A continuación pincha en la flechita azul que acompaña al control del número que se ha obtenido.
Cada vez que lo hagas se añade el resultado obtenido en la tabla adjunta y se produce otro "lanzamiento".

Lanza el dado tetraédrico de esta escena 50 veces y fíjate bien en las frecuencias absolutas y relativas que han salido (no lo borres, o sea no le des al botón inicio)
¿Qué número ha salido con mayor frecuencia relativa? ¿y con menor?
Calcula la diferencia entre las frecuencias relativas mayor y menor.
Sigue lanzando el dado otras 50 veces, o sea en total 100 veces. Observa de nuevo las frecuencias absolutas y relativas.
¿Cuál es la probabilidad de que salga un 1 en este dado?, ¿y un 2?, ¿y un 3?, ¿y un 4?
Cuál de los números es el más probable? (no borres)
Anota en tu cuaderno los resultados obtenidos en la tabla, y calcula el porcentaje de veces que ha salido cada número sobre el total de lanzamientos.
¿Son muy diferentes los porcentajes obtenidos?
Imagínate que este experimento lo hicieran todas las clases de tu centro y se unieran todos los resultado. ¿Qué crees que pasaría? ¿A qué piensas que es debido?

Hemos jugado con un dado virtual. Si lo hubiéramos hecho con un dado real habríamos obtenido unos resultados similares. Esto nos lleva a enunciar las siguientes conclusiones:

Todos los números del dado tienen las mismas posibilidades de salir. Se dice que tienen la misma probabilidad de ocurrir, o también, que son SUCESOS EQUIPROBABLES.

Actividad: Sucesos no equiprobables Descripción:

Va comenzar con una carrera de coches. En las escenas siguientes tenemos el lanzamiento de dos dados y los coches de la carrera.

Los coches de este juego se mueven de la siguiente forma: se lanzan los dos dados, y avanza un casillero, arrastrando con el ratón, el coche cuyo número coincida con la suma de los puntos.

JUEGA y ¡VEREMOS QUIEN GANA!

Una vez hayas jugado y anotado cuál ha sido el coche ganador, fíjate en la posición en que han quedado todos los coches. ¿Crees que todos tenían la misma probabilidad de ganar?

Observa atentamente esta tabla e intenta relacionar con ella el resultado del juego.

Las sumas de los dos dados NO tienen la misma probabilidad de ocurrir. Se dice que son sucesos que son SUCESOS NO EQUIPROBABLES.

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Ley de Laplace

El matemático francés Laplace da la siguiente definición de probabilidad para el caso en el que los sucesos elementales del espacio muestral sean equiprobables. Este resultado se conoce como ley o regla de Laplace.

Regla de Laplace:

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

$P(A)= \frac{Casos\ favorables\ a\ A} {Total\ casos\ posibles}$

Se trata, por tanto, de un número comprendido entre 0 y 1.

Ejemplo: Regla de Laplace

En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de " salir AS"?, ¿Y de "salir ORO"?

Solución:

$P(AS)=\cfrac{n^\circ \ de \ ases}{n^\circ \ total \ de \ cartas}=\cfrac{4}{40}=0.1$

$P(ORO)=\cfrac{n^\circ \ de \ oros}{n^\circ \ total \ de \ cartas}=\cfrac{10}{40}=0.25$

Regla de Laplace Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a utilizar la ley de Laplace.

Regla de Laplace

Tutorial 1 (5'52") Sinopsis:

Probabilidad de sucesos equiprobables. Ejemplos

Tutorial 2 (7'22") Sinopsis:

Cálculo de probabilidades usando la ley de Laplace
Ejemplos.

Tutorial 3 (13'37") Sinopsis:

La tercera parte de este videotutorial de 33'20" dura 14'00" y trata sobre:

Ley de Laplace.
Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'28") Sinopsis:

Ejercicio 1: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Sacar el número 1.

b) Sacar un múltiplo de 3.

c) Sacar un número par.

d) Sacar el número 8.

e) Sacar un número del 1 al 6.

Ejercicio 2 (8'00") Sinopsis:

Ejercicio 2: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, se consideran los sucesos

A = Sacar un número impar.

B = Sacar un 2.

C = Sacar un 5.

Calcula las siguientes probabilidades:

a) $P(A)\;$

b) $P(B)\;$

c) $P(C)\;$

d) $P(\overline{A)}\;$

e) $P(A \cap B)$ . ¿Son A y B incompatibles?

f) $P(A \cup B)$

g) $P(A \cap B)$ . ¿Son A y C incompatibles?

Ejercicios: Cálculo de probabilidades

Ejercicio 1. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a) Que las dos cifras sean iguales

b) Que su suma sea 11

c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13

Solución:

Solución 1:

El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada suceso del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

a) Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. Son 10 casos. Así, la probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:

P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

b) Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,

P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

c) Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

Ejercicio 2. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Solución:

Solución 2:

El espacio muestral del experimento es:

E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.

Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

a) Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3

b) Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:

B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}.

Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3

Ejercicio 3. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Solución:

Solución 3:

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.

Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

a) P(suma de valores menor que 8) $= \frac {1+3+6+10+15} {216}= 0.1620$

b) P(suma de valores mayor que 4 y menor que 8) $= \frac {6+10+15} {216}= 0.1435$

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Propiedades de la probabilidad

Propiedades

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0.
Si $A\;$ y $B\;$ son dos sucesos incompatibles, entonces $P(A \cup B)=P(A)+P(B)\;$ .
La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento es 1.
Si $A\;$ y $B\;$ son dos sucesos compatibles, entonces $P(A \cup B)=P(A)+P(B)- P(A \cap B)\;$ .
Si $A \subset B$ entonces $P(A) < P(B)\;$ .

$P(\overline{A})=1-P(A)\;$ .
$P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)\;$ .
$P(A \, \triangle \, B)=P(A)+P(B)-2P(A \cap B)\;$ .
$P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B)\;$ .
$P(\overline{A} \cup \overline{B})=P(\overline{A \cap B})=1-P(A \cap B)\;$ .

Propiedades de la probabilidad

Ejercicio 1 (4'07") Sinopsis:

Ejercicio 1: Sabiendo que $P(A)=\cfrac{3}{8}\;$ , $P(B)=\cfrac{5}{6}\;$ y $P(A \cap B)=\cfrac{1}{4}\;$ , calcula:

a) $P(A \cup B)\;$

b) $P(\overline{A} )\;$

Ejercicio 2 (4'01") Sinopsis:

Ejercicio 2: Sabiendo que A y B son sucesos incompatibles, y que $P(A)=\cfrac{2}{9}\;$ y $P(B)=\cfrac{1}{6}\;$ , calcula:

a) $P(A \cap B)\;$

b) $P(A \cup B)\;$

Probabilidad de la diferencia de sucesos (3'25") Sinopsis:

Tutorial sobre la probabilidad de la diferencia de sucesos

Ejercicio 3 (3'00") Sinopsis:

Ejercicio 3: En un concurso se puede ganar un reloj, un móvil o ambos regalos a la vez. Si la probabilidad de ganar un reloj es 0.4, la de ganar un móvil 0.2 y la de ganar los dos regalos es 0.05, calcula la probabilidad de ganar sólo el móvil.

Probabilidad de la diferencia simétrica de sucesos (3'02") Sinopsis:

Tutorial sobre la probabilidad de la diferencia simétrica de suscesos.

Ejercicio 4 (3'46") Sinopsis:

Ejercicio 4: En un concurso se puede ganar un reloj, un móvil o ambos regalos a la vez. Si la probabilidad de ganar un reloj es 0.4, la de ganar un móvil 0.2 y la de ganar los dos regalos es 0.05, calcula la probabilidad de ganar uno solo de los dos regalos.

Leyes de Morgan (4'03") Sinopsis:

Tutorial sobre las leyes de Morgan.

Ejercicio 5 (3'05") Sinopsis:

Ejercicio 5: En un concurso se puede ganar un reloj, un móvil o ambos regalos a la vez. Si la probabilidad de ganar un reloj es 0.4, la de ganar un móvil 0.2 y la de ganar los dos regalos es 0.05, calcula la probabilidad de no ganar ninguno de los dos regalos.

Ejercicio 6 (8'30") Sinopsis:

Ejercicio 6: El 60% de los clientes de una frutería compran naranjas. El 30% no compra ni naranjas ni manzanas. ¿Qué porcentaje de clientes compra manzanas, pero no naranjas?

Ejercicio 7 (5'30") Sinopsis:

Ejercicio 7: En una ciudad, la probabilidad de que llueva un días de junio es del 10%, y de que haga sol un 75%. Si no es posible que en un mismo día de junio llueva y haga sol simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que en un día de junio no llueva ni haga sol?

Propiedades de la probabilidad Descripción:

Actividades en las que podrás aprender aplicar algunas de las propiedades de la probabilidad.

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Probabilidad experimental. Simulación

La ley de Laplace nos permite calcular la probabilidad de sucesos regulares, pero si la experiencia es irregular y desconocemos la probabilidad de cada uno de los casos, entonces es preciso recurrir a la experimentación.

Probabilidad experimental Descripción:

Actividades con las que podrás practicar el cálculo de probabilidades de forma experimental.

En muchas ocasiones realizar un experimento aleatorio un número elevado de veces no resulta fácil, entonces recurrimos a la simulación.

Simular un experimento aleatorio consiste en sustituirlo por otro más sencillo y capaz de reproducir los mismos resultados.

Las calculadoras científicas disponen de la tecla RAND, RAN# ó RANDOM que al activarla, genera un número al azar comprendido entre 0 y 1, llamado número aleatorio. Estos números resultan de gran utilidad en la simulación de experimentos.

Simulación Descripción:

Actividades con las que podrás aprender a hacer simulaciones utilizando la tecla RANDOMIZE de la calculadora.

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Actividades y videotutoriales

Actividades 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de probabilidades sencillas con monedas usando la regla de Laplace y la ley de los grandes números.

Actividades 2 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de probabilidades sencillas con dados y cartas usando la regla de Laplace. También practicarás los conceptos de suceso compatible e incompatible.

Actividades 3 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de probabilidades de los sucesos unión e intersección. Aquí se introduce, a modo de ampliación, el concepto de sucesos independientes y el cálculo de la probabilidad del suceso intersección en dicho caso.

El problema Monty Hall (5'14") Sinopsis:

El famoso problema de probabilidades "Monty Hall" (subtitulado en español)

Las Leyes del Azar (17´) Sinopsis:

El ser humano siempre ha estado preocupado por lo que le deparará el futuro. Las matemáticas han intentado iluminar, al menos en parte, las pautas que rigen el futuro inmediato sujeto al azar. En nuestro país nos gastamos todas las semanas miles de millones de pesetas en loterías, bonolotos, primitiva, sorteos... Ponemos nuestra suerte y nuestro dinero en manos del azar. Pero el azar tiene sus leyes y en algunas de esas leyes profundizaremos en este programa. Descubriremos, entre otras, cosas la probabilidad de acertar un pleno en la primitiva. Lo que empezó como un juego, un problema de dados planteado a Pascal, se ha convertido en la Teoría de la Probabilidad, una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la actualidad. Desde loa aficionados a los juegos de azar, hasta las aseguradoras y las multinacionales toman sus decisiones basándose en las Leyes del Azar.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ley_de_Laplace_%283%C2%BAESO%29"

Categorías: Matemáticas | Probabilidad