Métodos de resolución de sistemas (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Método de sustitución
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Método de igualación
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Método de reducción
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Actividades
- 4.1 Resolución de sistemas
- 4.2 Número de soluciones de un sistema
5 Apéndice
- 5.1 Manipulación de expresiones

(Pág. 128)

Ya conocemos el método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ahora vamos a ver tres métodos algebraicos: los métodos de sustitución, igualación y reducción.

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Método de sustitución

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que resulte más fácil de despejar).
Se sustituye la incógnita despejada en (1) en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en la expresión de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en la primera ecuación:

$x=6+y\;\!$ [1]

Sustituimos esta expresión de la $x\;\!$ en la segunda ecuación:

$3(6+y)+2y=13\;\!$

Resolvemos la ecuación resultante:

$18+3y+2y=13\;\!$

$18+5y=13\;\!$

$5y=13-18\;\!$

$5y=-5\;\!$

$y=\cfrac{-5}{5}\;\!$

$y=-1\;\!$

Para obtener el valor de $x\;\!$ , sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en [1]:

$x=6-1\;\!$

$x=5\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=5; \ y=-1\;\!$

Método de sustitución

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de sustitución. Ejemplo.

Tutorial 2 (9'19") Sinopsis:

Método de sustitución. Ejemplos.

Tutorial 3 (16'21") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (grado 1) de dos variables por el método de sustitución.

Ejemplos (casos sencillos) (5'39") Sinopsis:

Videotutorial sobre el método de sustitución para casos sencillos.

Ejercicio 1 (7'01") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = 1 \\ ~x-~y & = 3 \end{cases}$

Ejercicio 2 (3'59") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = ~5 \\ ~x-2y & = -1 \end{cases}$

Ejercicio 3 (4'15") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}2x+3y & = 12 \\ ~x-y & = ~1 \end{cases}$

Ejercicio 4 (4´31") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicio 5 (11´23") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de sutitución:

$\begin{cases}2x-y & = 8 \\ ~x+y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}3x+2y & = 4 \\ 6x+4y & = 0 \end{cases}$
$\begin{cases}2x+4y & = 3 \\ 6x+8y & = 4 \end{cases}$

Ejercicio 6 (5´45") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}~x+3y & = ~6 \\ 5x-2y & = 13 \end{cases}$

Ejercicio 7 (6´03") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-5x+~y & = ~8 \\ 8x-7y & = 25 \end{cases}$

Ejercicio 8 (8´07") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-3x+4y & = -24 \\ ~5x+7y & = ~-1 \end{cases}$

Ejercicio 9 (7´16") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-x+5y & = ~6 \\ 3x+~y & = 10 \end{cases}$

Ejercicio 10 (7´31") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}~2x+3y & = ~7 \\ -3x+4y & = -2 \end{cases}$

Ejercicio 11 (5´32") Sinopsis:

Resuelve por el método de sustitución:

$\begin{cases}-x-y = 1 \\ x= -3y-9 \end{cases}$

Método de sustitución

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de sustitución para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de sustitución para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Método de sustitución

(Pág. 128)

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Método de igualación

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de igualación se siguen los siguientes pasos:

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema.
Se igualan las expresiones obtenidas en (1), con lo que se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos expresiones de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Despejamos la $x\;\!$ en cada una de las dos ecuaciones:

$x=\cfrac{6-12y}{5}\, ; \quad x=\cfrac{2-2y}{3}$ [1]

Igualamos estas dos expresiones:

$\cfrac{6-12y}{5}=\cfrac{2-2y}{3}$

Resolvemos la ecuación:

$3(6-12y)=5(2-2y)\;\!$

$18-36y=10-10y\;\!$

$-36y+10y=10-18\;\!$

$-26y=-8\;\!$

$y=\cfrac{-8}{-26}\;\!$

$y=\cfrac{4}{13}\;\!$

Sustituimos el valor $y=\cfrac{4}{13}\;\!$ en cualquiera de las expresiones de [1], por ejemplo en $x=\cfrac{2-2y}{3}$ :

$x=\cfrac{2-2( \cfrac{4}{13})}{3}$

$x=\cfrac{6}{13}$

Así, la solución del sistema es:

$x=\cfrac{6}{13}; \ y=\cfrac{4}{13}$

Método de igualación

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de igualación. Ejemplo.

Tutorial 2 (0'34") Sinopsis:

Resolución de sistemas por igualación. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'52") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+5y & = -29 \\ 2x+3y & = -18 \end{cases}$

Ejercicio 2 (4'39") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}2x+3y & = ~5 \\ ~x-2y & = -1 \end{cases}$

Ejercicio 3 (5'34") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+2y & = ~3 \\ -x+5y & = 16 \end{cases}$

Ejercicio 4 (5´13") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicios 5 (8´10") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}$
$\begin{cases}3x+2y & = 5 \\ 6x+4y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}2x+3y & = 4 \\ 4x+6y & = 8 \end{cases}$

Ejercicio 6 (6´10") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}x+8y & = 23 \\ x+~y & = ~9 \end{cases}$

Ejercicio 7 (7´56") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~x+6y & = 27 \\ 7x-3y & = ~9 \end{cases}$

Ejercicio 8 (8´42") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~6x-18y & = -85 \\ 24x-~5y & = ~-5 \end{cases}$

Ejercicio 9 (8´56") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}~9x+16y & = 7 \\ -3x+~4y & = 0 \end{cases}$

Ejercicio 10 (8´41") Sinopsis:

Resuelve por el método de igualación:

$\begin{cases}3x+5y & = ~7 \\ 2x-~y & = -4 \end{cases}$

Método de igualación

Actividad Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de igualación para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Método de igualación

(Pág. 129)

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Método de reducción

Procedimiento

Para resolver un sistema por el método de reducción o eliminación se siguen los siguientes pasos:

Se obtiene un sistema equivalente al de partida, multiplicando las dos ecuaciones por números apropiados, de manera que una de las incógnitas quede con coeficentes opuestos en ambas ecuaciones.
Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, desapareciendo así la incógnita con coeficientes opuestos.
Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos ecuaciones del sistema de partida, averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

Ejemplo: Método de reducción

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)

$\left . \begin{matrix} ~~12x+8y=~~28 \\ -12x+9y=-45 \end{matrix} \right \}$

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:

$\begin{matrix} ~~12x+8y=~~28 \\ -12x+9y=-45 \\ --------- \\ \quad \qquad 17y=-17 \end{matrix}$

$y=\cfrac{-17}{17}$

$y=-1\;\!$

Sustituimos el valor $y=-1\;\!$ en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de partida, por ejemplo en la primera: $3x+2y=7 \;\!$

$3x+2(-1)=7 \;\!$

$3x=7+2 \;\!$

$x=3\;\!$

Así, la solución del sistema es:

$x=3; \ y=-1\;\!$

Método de reducción

Tutorial 1 (0'50") Sinopsis:

Método de reducción. Ejemplo.

Tutorial 2 (9'10") Sinopsis:

Resolución de sistemas por reducción. Ejemplos.

Tutorial 3 (15'40") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (grado 1) de dos variables por el método de reducción.

Ejercicio 1 (5'25") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\left . \begin{matrix} 2x+3y=~5 \\ ~x-2y=-1 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (7'40") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}3x+2y & = 16 \\ 5x-3y & = -5 \end{cases}$

Ejercicio 3 (5'42") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\left . \begin{matrix} 5x+6y=20 \\ 3x+8y=34 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (4´14") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}3x-4y & = -6 \\ ~x+2y & = ~8 \end{cases}$

Ejercicio 5 (10´54") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

$\begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}$
$\begin{cases}5u+2v & = 7 \\ 4u+3v & = 7 \end{cases}$

Ejercicio 6 (7´18") Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

$\begin{cases}6x+3y & = 4 \\ 2x+~y & = 1 \end{cases}$
$\begin{cases}8x-6y & = 10 \\ 4x-3y & = ~5 \end{cases}$

Ejercicio 7 (3'43") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} x+y=8 \\ x-y= 4 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 8 (6'15") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 6x-5y= -9 \\ 4x+3y= 13 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 9 (6'01") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 5x+~y= -1 \\ 3x+2y= ~5 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 10 (5'30") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} ~5x+3y= 21 \\ -2x+4y= ~2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 11 (6'00") Sinopsis:

Resuelve gráficamente:

$\left . \begin{matrix} 7a+2b= -3 \\ 2a-3b= -8 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 12 (6´23") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

$\begin{cases}-4x+2y & = ~12 \\ -5x-2y & = -30 \end{cases}$

Ejercicio 13 (12´02") Sinopsis:

Resuelve por el método de reducción:

a) $\begin{cases}5x-10y & = 15 \\ 3x-~2y & = ~3 \end{cases}$

b) $\begin{cases}5x+7y & = 15 \\ 7x-3y & = ~5 \end{cases}$

Método de reducción

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación 1a Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Autoevaluación 1b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre el método de reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Método de reducción

(Pág. 130-131)

3, 5

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Actividades

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Resolución de sistemas

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre resolución de sistemas utilizando los tres métodos.

Ejercicio (7´37") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\begin{cases}3x+~y & = 23 \\ ~x+5y & = 17 \end{cases}$

b) $\begin{cases}~x+2y & = 3 \\ 3x+6y & = 8 \end{cases}$

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Número de soluciones de un sistema

Número de soluciones de un sistema

Autoevaluación 1a Descripción:

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: método algebraico.

Autoevaluación 1b Descripción:

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: método algebraico.

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Apéndice

Sistemas con mas de 2 incógnitas (36'12") Sinopsis:

Tutorial que explica la resolución de sistemas de ecuaciones con más de dos variables, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.

Sistemas cuadráticos (39'31") Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticos, resolviendo varios ejercicios utilizando tanto la sustitución como la reducción.

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