Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

x^2 +9 = 0 \,

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}     (no existe en \mathbb{R})

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Unidad imaginaria

Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones eran números complejos. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque Girard, en 1629, afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n tenía n soluciones.

Se denomina unidad imaginaria a \sqrt{-1}. Se designa por la letra i\,

i=\sqrt{-1}

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3 \, \sqrt{-1}=\pm \, 3i

Potencias de la unidad imaginaria

  • i^0=1\,
  • i^1=i\,
  • i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1
  • i^3=i \cdot i^2=-i
  • i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1

A partir de i^4\, se repiten cíclicamente los valores.

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}

Forma binómica de un número complejo

  • La expresión a+bi\, se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a a\, se le llama parte real y a b\, parte imaginaria. Si escribimos z=a+bi\,, entonces se dice que Re(z)=a\, y Im(z)=b\,
  • Si b=0\,, lo que tenemos es un número real, por tanto \mathbb{R} \sub \mathbb{C}.
  • Si b \ne 0\,, lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
  • Si a=0\, y b \ne 0\,, se le llama número imaginario puro.
  • Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.

\mathbb{C} \mbox{    Complejos}     \begin{cases}          \mathbb{R} & \mbox{Reales}         \begin{cases}             \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}                 \begin{cases}                     \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}                     \begin{cases}                         \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\                                    & \mbox{Enteros negativos} \\                                    & \mbox {Cero}                                    \end{cases}\\                                 & \mbox{Fraccionarios}                 \end{cases}\\                        & \mbox{Irracionales}         \end{cases}\\          & \mbox{Imaginarios}     \end{cases}

Opuesto y conjugado de un complejo

  • Se define el opuesto de un complejo a+bi\, como el número complejo -a-bi\,.
  • Se define el conjugado de un complejo z=a+bi\, como el número complejo \bar z =a-bi\,.

ejercicio

Proposición


Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados

ejercicio

Ejercicios: Números complejos


Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica a+bi\, queda determinado por un par de números reales: su parte real, a\, y su parte imaginaria, b\,. De esta manera, el par (a,b)\, representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que (a,b)\, es el afijo del número complejo a+bi\,.

Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen (0,0)\, y extremo (a,b)\,.

Imagen:complejo.jpg

ejercicio

Ejercicios: El plano complejo


ejercicio

Actividad interactiva: Representación gráfica de números complejos


Actividad 1: Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Comprueba tus representaciones en la escena:
5 + 2i \, , \quad -4 + 3i \quad ,  \quad -3 - 2i \quad ,  \quad 4 - 3i \quad ,  \quad 5i \quad ,  \quad -2i \quad ,  \quad -3 \quad ,  \quad 1 \quad ,  \quad -1 \quad ,  \quad i \quad ,  \quad -i

Actividad 2: Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados y compruébalo todo en la escena:
i^{189} \, , \quad i^{134} \quad ,  \quad i^{275} \quad ,  \quad i^{1284}

ejercicio

Video: Fractales... la geometría del caos (18´)


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