Relación de divisibilidad (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Relación de divisibilidad
2 Múliplos y divisores
- 2.1 Propiedades
3 Cálculo de los múltiplos y divisores de un número
4 Criterios de divisibilidad
5 Ejercicios propuestos

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Relación de divisibilidad

Dos números enteros $a\;$ y $b\;$ ( $a \ge b\;$ ) , están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división $a:b\;$ es exacta.

Ejemplos:

Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm, porque la división 60:15 es exacta (cociente=4; resto=0). Por tanto, 60 y 15 están emparentados por la relación de divisibilidad.

Un listón de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de 25 cm, porque la división 60:25 no es exacta (cociente=2; resto=10). Así, 60 y 25 no están emparentados por la relación de divisibilidad.

Relación de divisibilidad

Actividad 1 Descripción:

Actividad de introducción a la relación de divisibilidad.

Actividad 2 Descripción:

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Múliplos y divisores

Si $a\;$ y $b\;$ $(a \ge b)\;$ están emparentados por la relación de divisibilidad, es decir, $a : b\;$ es exacta, entonces decimos que:

$a\;$ es multiplo $b\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $a= \dot b$ .
$b\;$ es divisor de $a\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $b|a \;\!$ .

Ejemplos:

La división 60:15=4 es exacta. Entonces 60 es un múltiplo de 15 $(60= \dot 15)$ y 15 es un divisor de 60 $(15|60 \;\!)$ .
Fíjate que 4 también es divisor de 60 porque la división 60:4=15 es también exacta. Por tanto, los divisores siempre van por parejas.

Proposición

Si $a\;$ es multiplo de $b\;$ , entonces existe un número entero $k\;\!$ tal que $a=b \cdot k$ .

Demostración:

En efecto, si a es multiplo de b, entonces la división a:b es exacta. Si llamamos k al cociente, se cumple que a=b·k.

Múltiplos y divisores (2'05") Sinopsis:

¿Cómo se sabe si un número es múltiplo o divisor?

Observación:

Las definiciones vistas hasta ahora las podríamos haber dado igualmente cambiando números enteros por números naturales. En lo que resta de tema sólo hablaremos de números naturales para evitar duplicidades por cuestiones de signo, sin embargo, todo lo que digamos será también aplicable a números enteros, salvo pequeños matices que obviaremos por cuestiones de simplicidad.

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Propiedades

Propiedades de los múltiplos

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural $a\,$ tiene infinitos múltiplos, $a \cdot k$ , que se obtienen multiplicándolo por un número natural $k\,$ cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
La suma de dos o más multiplos de $a\,$ es otro múltiplo de $a\,$ .
La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Propiedades de los divisores

Todo número natural distinto de cero tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él. Por tanto, el número de divisores es finito.
Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.
Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

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Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Los siguiente videotutoriales condensan todo lo que se va a ver en este apartado.

Múltiplos y divisores de un número

Tutorial 1 (5'03") Sinopsis:

Múltiplos y divisores de un número. Cómo obtenerlos. Ejemplos.

Tutorial 2 (17´56") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica los conceptos matemáticos de múltiplo y divisor y se enseña a como obtener los múltiplos y divisores de números naturales.

00:00 a 03:25: Explicación del concepto matemático de múltiplo.
3:25 a 06:25: Obtención de los múltiplos de un número natural.
6:25 a 09:20: Explicación del concepto matemático de divisor.
9:20 a 16:35: Obtención de los divisores de un número natural.
6:35 a 17:56: Números primos y compuestos.

Tutorial 3 (9'30") Sinopsis:

Cálculo de los múltiplos y los divisores (requiere factorizción) de un número natural. Ejemplos.

Tutorial 4 (7´21") Sinopsis:

¿Cómo hallar los múltiplos y divisores de un número?

Tutorial 5 (11´20") Sinopsis:

Conceptos de múltiplo y divisor de un número.
¿Cómo hallar los múltiplos y divisores de un número?

Tutorial 6 (3´09") Sinopsis:

Múltiplos y divisores de un número.

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Cálculo de los múltiplos de un número

La segunda de las propiedades de los múltiplos vista anteriormente me da una forma de calcular los múltiplos de un número natural.

Procedimiento

Para obtener los múltiplos de un número natural $a\;$ , multiplicaremos $a\;$ por cada uno de los números naturales:

$\{ \dot a \}=\{a \cdot 1, \, a \cdot 2, \, a \cdot 3, \, \cdots \}$

Ejemplo

Los múltiplos de 3 se obtienen multiplicando 3 por un número natural cualquiera:

$\left \{ \dot 3 \right \} = \left \{ 3,\, 6,\, 9,\, 12,\, 15,\, \cdots \, \right \}$

Ejercicio resuelto: Cálculo de los múltiplos de un número

Calcula los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Solución:

Al dividir 150 : 17 obtenemos 8 de cociente y 14 de resto.

$17 \cdot 8 = 136 < 150$

$17 \cdot 9 = 153 \rightarrow$ Primer múltiplo de 17 mayor que 150.

$17 \cdot 10 = 170 \rightarrow$ Segundo múltiplo de 17 mayor que 150.

$17 \cdot 11 = 187 \rightarrow$ Tercer múltiplo de 17 mayor que 150.

$17 \cdot 12 = 204 > 200$ .

Solución: 153, 170 y 187.

Múltiplos de un número

Tutorial 1 (2'42") Sinopsis:

Qué son y como se obtienen los múltiplos de un número. Ejemplos.

Tutorial 2 (2'44") Sinopsis:

Qué son y como se obtienen los múltiplos de un número. Ejemplos.

Tutorial 3 (27'58") Sinopsis:

Múltiplos de un número entero. Qué son los múltiplos de un número entero, cómo se calculan y como se averigua si un número es múltiplo de otro.

Ejercicio (2'05") Sinopsis:

calcula los múltiplo9s de 6 y de 13.

Múltiplos de un número

Actividades Descripción:

Actividad para ver algunos múltiplos de un número.
Actividad en la que deberás separar los números que aparecen según sean múltiplos o no del indicado.

Ejercicio 1 Descripción:

Escribe los cuatro primeros múltiplos de 5, sin contar el cero, ordenados de menor a mayor.

Ejercicio 2 Descripción:

Escribe los cuatro primeros múltiplos de 25, sin contar el cero, ordenados de menor a mayor.

Ejercicio 3 Descripción:

Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 mayores que 1000.

Ejercicio 4 Descripción:

Calcula tres múltiplos de 7 comprendidos entre 50 y 100.

Ejercicio 5 Descripción:

Si escribes números cada vez mayores empezando en cero y avanzando de 3 en 3, ¿cuál será el número más cercano, anterior a 400, que alcanzarás?

Ejercicio 6 Descripción:

Marca los números que sean a la vez múltiplos de 3 y de 5.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre múltiplos de un número.

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Cálculo de los divisores de un número

Procedimiento

Para encontar todos los divisores de un número, $a\,$ , buscamos las divisiones exactas $a:b=c\,$ . Entonces $b\,$ y $c\,$ son divisores de $a\,$ . Para ello procederemos de la siguiente manera:

Probaremos con $b = 1, 2, 3, ... \,$ .
Para cada valor de $b\,$ que dé división exacta ( $a= b \cdot k$ ), tendremos dos divisores: $b\,$ y $k\,$ .
Pararemos de probar cuando el cociente de la división $a:b\,$ sea menor o igual que $b\,$ .

Ejercicio resuelto: Cálculo de los divisores de un número

Calcula los divisores de 44.

Solución:

44 : 1 = 44 $\rightarrow$ 1 y 44 son divisores. Sigo porque 44 > 1

44 :2 = 22 $\rightarrow$ 2 y 22 son divisores. Sigo porque 22 > 2

44 : 3 $\rightarrow$ No es exacta (cociente=14). Sigo porque 14 > 3

44 : 4 = 11 $\rightarrow$ 4 y 11 son divisores. Sigo porque 11 > 4

44 : 5 $\rightarrow$ No es exacta (cociente=8). Sigo porque 8 > 5

44 : 6 $\rightarrow$ No es exacta (cociente=7). Sigo porque 7 > 6

44 : 7 $\rightarrow$ No es exacta (cociente=6). Paro porque 6 < 7

Solución: Tenemos 6 divisores de 44: 1, 2, 4, 11, 22 y 44.

Divisores de un número

Tutorial 1 (4'24") Sinopsis:

Qué son y como se obtienen los divisores de un número. Ejemplos.

Tutorial 2 (56'00") Sinopsis:

En este video podrás ver:

Divisores de un número.
Cálculo de los divisores de un número.

Este video también incluye los siguientes contenidos que veremos posteriormente en otro tema:

Criterios de divisibilidad.
Números primos y números compuestos.

Ejercicio 1 (4´44") Sinopsis:

Calcula los divisores de 50 y de 60.

Ejercicio 2 (11´55") Sinopsis:

Calcula los divisores de 120.

Ejercicio 3 (5´59") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son divisores de 154?: 3, 5, 6, 9 y 14.

Acertijo (4´59") Sinopsis:

Dos viejos amigos se encuentran y uno de ellos le pregunta al otro:

- ¿Cuántos hijos tienes? - Tres hijas. - ¿Qué edades tienen? - La multiplicación de sus edades es 36 y la suma es igual al número del portal que ves enfrente. - Mmm. Me falta un dato! - Cierto. La mayor toca el piano.

¿Qué edades tienen las hijas?

Divisores de un número

Actividad 1 Descripción:

Actividad que te muestra todos los divisores de un número dado.
Actividad en la que debes averiguar todos los divisores de un numero dado.
Actividad en la que debes separar los divisores de un número de los que no lo son.

Actividad 2 Descripción:

Marca en la tabla todos los divisores del número dado.

Actividad 3 Descripción:

Actividad en la que deberás hallar los divisores de un número.

Actividad 4 Descripción:

Actividad en la que podrás calcular los divisores de un número.

Autoevaluación 1 Descripción:

Parejas de divisores de un número.

Nota: En esta actividad se llaman factores a los divisores.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre divisores de un número.

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Actividades

Múltiplos y divisores

Actividad 1 Descripción:

Actividades sobre múltiplos y divisores de un número.

Actividad 2 Descripción:

Múltiplos y divisores de un número.

Nota: En esta actividad se llaman factores a los divisores.

Actividad 3 Descripción:

Múltiplos y divisores de un número.

Nota: En esta actividad se llaman factores a los divisores.

Autoevaluación 1 Descripción:

Múltiplos y divisores de un número.

Nota: En esta actividad se llaman factores a los divisores.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre múltiplos y divisores de un número.

Múltiplos y divisores

Actividad: Múltiplos y divisores de un número

a) Halla los divisores de 70.

b) Halla 5 múltiplos de 6.

c) Halla 5 múltiplos comunes de 4 y 5.

d) ¿Es 5 divisible por 10?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) divisors 70

b) multiples 6

c) common multiples 4,5

d) is 5 divisible by 10?

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Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
7	La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Observación:

Los números que aparecen en verde se corresponden con aquellos cuyo criterio es un proceso que se puede usar de forma recursiva, es decir, si después de aplicarlo no sabemos si el número al que hemos llegado es múltiplo del número en cuestión, podemos aplicar nuevamente el criterio sobre ese resultado.

Criterios de divisibilidad

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5 (3´26") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 (8'08") Sinopsis:

Criterios para averiguar si un número es divisible por 2, 3, 5, 10 u 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 (7'35") Sinopsis:

Criterios para averiguar si un número es divisible por 2, 3, 5, 9 u 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6 (3´28") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 7, 8, 9, 10 y 11 (4´36") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 7, 8, 9, 10 y 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 (14´50") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7, 11 y 10ⁿ (24´50") Sinopsis:

Tutorial que explica los criterios de divisibilidad más básicos e importantes, es decir los "trucos" para saber, sin necesidad de dividir, si 2, 3, 5, 7, 11 y 10ⁿson divisores de un número.

00:00 a 04:20: Definiciones básicas (divisor).
04:20 a 05:55: Criterio de divisibilidad del 2.
05:55 a 07:05: Criterio de divisibilidad del 5.
07:05 a 09:50: Criterio de divisibilidad de potencias de 10.
09:50 a 15:27: Criterio de divisibilidad del 3.
15:27 a 21:00: Criterio de divisibilidad del 11.
21:00 a 24:50: Criterio de divisibilidad del 7.

Criterios de divisibilidad por 6, 2ⁿ, 5ⁿ, 9 (15´46") Sinopsis:

Tutorial que explica algunos criterios de divisibilidad más, es decir los "trucos" para saber, sin necesidad de dividir, si 6, 2ⁿ, 5ⁿ y 9 son divisores de un número.

00:00 a 02:20: Definiciones básicas (divisor).
02:20 a 05:15: Criterio de divisibilidad de las potencias de 2.
05:15 a 07:15: Criterio de divisibilidad de las potencias de 5.
07:15 a 10:30: Criterio de divisibilidad del 9.
10:30 a 15:46: Criterio de divisibilidad del 6 o producto de primos.

Criterio de divisibilidad por 3 (explicación) (8'06") Sinopsis:

Explicación de por qué funciona el criterio de divisibilidad por 3.

Criterio de divisibilidad por 9 (explicación) (8'13") Sinopsis:

Explicación de por qué funciona el criterio de divisibilidad por 9.

Ejemplo 1 (0'41") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2

Ejemplo 2 (0'58") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 3

Ejemplo 3 (0'49") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 4

Ejemplo 4 (0'30") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 5

Ejemplo 5 (0'42") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 9

Ejemplo 6 (0'25") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 10

Ejemplo 7 (1'45") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 11

Ejercicio 1 (12'04") Sinopsis:

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 ó 12, los siguientes números: 405, 316, 814, 3080 y 240.

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:

Escribe cuatro números de forma que sean divisibles a la vez entre 2 y 11.

Ejercicio 3 (9'07") Sinopsis:

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ó 10, los siguientes números: 2 799 588, 5670 y 100 765.

Ejercicio 4 (7'46") Sinopsis:

Comprueba si 380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ó 10.

Criterios de divisibilidad

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás comprobar si un número dado es múltiplo o no de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 11.
Actividad en la que deberás separar los números por los que es divisible un número dado.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7, 9, 10 y 11.

Actividad 4a (divisibilidad por 2) Descripción:

Averigua los múltiplos de 2

Actividad 4b (divisibilidad por 3) Descripción:

Averigua los múltiplos de 3

Actividad 4c (divisibilidad por 5) Descripción:

Averigua los múltiplos de 5

Actividad 4d (divisibilidad por 11) Descripción:

Averigua los múltiplos de 11

Actividad 5 (divisibilidad por 2, 3 y 5) Descripción:

Averigua qué número no es múltiplo del dado.

Autoevaluación 1 Descripción:

Test de 5 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 2 Descripción:

Test de 5 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 3 Descripción:

Test de 7 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 4 Descripción:

Criterios de divisibilidad del 2, 3, 5 y 11

Autoevaluación 5 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre criterios de divisibilidad.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Relación de divisibilidad

(Pág. 17)

1, 2, 4, 5, 6, 7, 8

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Categorías: Matemáticas | Números

Relación de divisibilidad (2º ESO)

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Tabla de contenidos

Relación de divisibilidad

Múliplos y divisores

Propiedades

Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Cálculo de los múltiplos de un número

Cálculo de los divisores de un número

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