Relación de divisibilidad (2º ESO)

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Tabla de contenidos

Introducción

Los siguientes videotutoriales condensan gran parte de lo que vamos a ver en este tema.

Relación de divisibilidad

Dos números a\; y b\; están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división a:b\; es exacta.

Múliplos y divisores

Si a\; y b\; (a > b)\; están emparentados por la relación de divisibilidad, es decir, a : b\; es exacta, entonces decimos que:

  • a\; es multiplo b\; y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b.
  • b\; es divisor de a\; y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

ejercicio

Proposición


Si a\;\! es multiplo de b\, , entonces existe un número natural k\;\! tal que a=b \cdot k.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de los múltiplos


  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural a\, tiene infinitos múltiplos, a \cdot k, que se obtienen multiplicándolo por un número natural k\, cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • La suma de dos o más multiplos de a\, es otro múltiplo de a\,.
  • La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
  • Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
  • Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

ejercicio

Propiedades de los divisores


  • Todo número natural distinto de cero tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
  • Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él. Por tanto, el número de divisores es finito.
  • Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
  • Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.
  • Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Los siguiente videotutoriales condensan todo lo que se va a ver en este apartado.

Cálculo de los múltiplos de un número

La segunda de las propiedades de los múltiplos vista anteriormente me da una forma de calcular los múltiplos de un número natural.

ejercicio

Procedimiento


Para obtener los múltiplos de un número natural a\;, multiplicaremos a\; por cada uno de los números naturales:

\{ \dot a \}=\{a \cdot 1, \, a \cdot 2, \, a \cdot 3, \, \cdots \}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los múltiplos de un número


Calcula los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Cálculo de los divisores de un número

ejercicio

Procedimiento


Para encontar todos los divisores de un número, a\,, buscamos las divisiones exactas a:b=c\,. Entonces b\, y c\, son divisores de a\,. Para ello procederemos de la siguiente manera:

  1. Probaremos con b = 1, 2, 3, ... \,.
  2. Para cada valor de b\, que dé división exacta (a= b \cdot k), tendremos dos divisores: b\, y k\,.
  3. Pararemos de probar cuando el cociente de la división a:b\, sea menor o igual que b\,.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los divisores de un número


Calcula los divisores de 44.

Actividades

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
7 La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Relación de divisibilidad


(Pág. 17)

1, 2, 4, 5, 6, 7, 8

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