Relaciones de proporcionalidad entre magnitudes (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Razón y proporción
- 2.1 Cálculo del cuarto proporcional
- 2.2 Actividades y videotutoriales
3 Relaciones de proporcionalidad
4 Relación de proporcionalidad directa
- 4.1 Constante de proporcionalidad directa
5 Relación de proporcionalidad inversa
- 5.1 Constante de proporcionalidad inversa
6 Actividades
- 6.1 Ejercicios propuestos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Proporcionalidad (9'04") Sinopsis:

La aventura más Manga de Troncho y Poncho (a lo japonés). Es como si los Pokemon explicasen las magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

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Razón y proporción

Razones y proporciones numéricas (14'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la proporción numérica, la razón de proporción, y cuando cuatro números guardan proporción.

00:00 a 02:40: Introducción (ejemplos).
02:40 a 03:15: Definición de razón (de proporción) entre dos cantidades (números).
03:15 a 05:24: Ejemplos 1-2-3 de razón (de proporción) entre dos números.
05:24 a 08:15: Ejemplo 4 de aplicación de razón.
08:15 a 09:40: Definición de cuándo cuatro números guardan proporción. Producto de medios y producto de extremos.
09:40 a 12:20: Ejemplos 5-6-7 de razón de proporción entre dos números. - 12:20 a Fin: Ejemplo 8 de aplicación de razón.

Estamos acostumbrados a dar información sobre situaciones de la vida cotidiana usando números. Hay ocasiones en las que un solo número no es suficiente y debemos compararlo con otra cantidad para poder comprender mejor la situación. Cuando comparamos dos cantidades formamos una razón.

Razón es el cociente entre dos números, $a\;$ y $b\;$ . Se escribe $\frac{a}{b}$ y se lee " $a\;$ es a $b\;$ ".

Advertencia:

Toda fracción puede ser considerada como una razón, pero no toda razón es una fracción, ya que una fracción es el cociente de dos números enteros, pero en una razón los números no tienen que ser necesariamente enteros.
Cuando digamos "razón de a y b" nos referiremos habitualmente al cociente a/b, pero según el contexto, podremos considerar a/b o b/a, indistintamente.
Podemos expresar una razón como número decimal o, cuando sea posible, como fracción.
Una razón no tiene unidades y sirve para comparar, ya que indica el nº de veces que una cantidad es mayor que otra.

Razones

Tutorial 1 (7'17") Sinopsis:

Concepto de razón.

Tutorial 2 (3'57") Sinopsis:

Explicación de qué es una razón y presentación de algunos ejemplos en los que se aplican las razones

Tutorial 3 (5'29") Sinopsis:

Aprenderemos qué es una razón (ratio), es decir, el cociente de dos magnitudes y qué significa.

Tutorial 4a (4'01") Sinopsis:

Una razón es una comparación de dos cantidades. Aprende a encontrar la relación entre dos cosas, por ejemplo, entre el número de manzanas y el de naranjas.

Aviso: A veces, se tiende a confundir el término "razón" con el de "proporción". Por ejemplo, en este video se habla de "proporción de manzanas en relación con naranjas". En realidad debe decirse "razón entre manzanas y naranjas". El significado del término "proporción" lo veremos posteriormente.

Tutorial 4b (2'58") Sinopsis:

En este video utilizamos razones parte:todo para encontrar la relación entre el número frutas de un tipo (la parte) con el número total de ellas (el todo).

Aviso: A veces, se tiende a confundir el término "razón" con el de "proporción". Por ejemplo, en este video se habla de "proporción del número de manzanas en relación con el número de frutas". En realidad debe decirse "razón entre el número de manzanas y el de frutas". El significado del término "proporción" lo veremos posteriormente.

Tutorial 4c (5'32") Sinopsis:

Una tasa es una razón. En este video presentamos las tasas por medio de ejemplos como 60 km por hora o 200 calorías por porción.

Razones

Actividad 1 Descripción:

En una primera escena te presentamos varios ejemplos de razón entre dos números para entender qué nos indica.
En otra actividad te proponemos que halles la razón en tres casos concretos.

Actividad 2 Descripción:

Razón ente dos números.

Autoevaluación Descripción:

Razón ente dos números.

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ . En tal caso, se dice que ambas razones son equivalentes.

Para entender la definición anterior fíjate en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Quieres hacer una copia ampliada de una foto carné. Quieres que esa foto sea exactamente igual que la que ya tienes, pero más grande, es decir, que se respete la forma, pero no el tamaño. Lógicamente si duplicas el largo de la foto, estás obligado a duplicar el alto, ya que de lo contrario no se respetaría la forma original (saldría estirada o achatada). Matemáticamente, para que la nueva foto sea proporcional, la razón entre el largo de la ampliación y el largo de la original tiene que ser igual a la razón entre el ancho de la ampliación y el ancho de la original. Y eso es lo que dice la definición, una proporción es una igualdad de razones.

Con proporción

Sin proporción

Proporciones

Tutorial 1 (6'02") Sinopsis:

Explicación de qué es una proporción y presentación de algunos ejemplos en los que se aplican las proporciones.

Tutorial 2 (6'02") Sinopsis:

Conceptos de proporción.

Proporciones

Actividad Descripción:

En una primera escena te presentamos varios ejemplos de proporciones.
En otra actividad te proponemos que compruebes si dos razones dadas forman o no una proporción.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre proporciones.

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Cálculo del cuarto proporcional

Se llama cuarto proporcional al término que desconocemos en una proporción.

Dado que si dos fracciones son equivalentes "el producto de medios es igual al de extremos", podemos calcular cualquier término de una proporción conociendo los otros tres.

Procedimiento

Para calcular el cuarto proporcional igualaremos el producto de extremos al producto de medios y despejaremos la incógnita:

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{x} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot x=b \cdot c \quad\Leftrightarrow\quad x=\cfrac{b \cdot c}{a}$

Ejercicio (9'08") Sinopsis:

Halla el valor de "n" en la proporción $\cfrac{8}{36}=\cfrac{10}{n}$ .

Cálculo del cuarto proporcional

Actividad 1 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Actividad 2 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Actividad 3 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver proporciones.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cuartos proporcionales.

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Actividades y videotutoriales

Razones y proporciones

Problema 1 (7'47") Sinopsis:

Completa la tabla sabiendo que la razones entre los elementos de las columnas son equivalentes.

Problema 2 (1'49") Sinopsis:

En una clase de idiomas, la razón de niñas a niños es 5 a 8. Si hay 65 estudiantes, ¿cuántas niñas hay?

Problema 3 (2'26") Sinopsis:

Majo tarda 3 horas en repartir 189 periódicos en su ruta. ¿Cuál es la razón por hora en la que entrega periódicos?

Problema 4 (2'01") Sinopsis:

El servicio de limpieza Miranda cobra $2800 por limpiar 8 oficinas. ¿Cuál es el precio que cobra la compañía por limpiar una oficina?

Problema 5 (3'39") Sinopsis:

Problema de comparación de tasas a partir de un tabla.

Razones y proporciones

Actividad 1 Descripción:

Distintos ejemplos de razón y proporcionalidad.

Actividad 2 Descripción:

Aprende a completar tablas de razones equivalentes.

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas verbales de razones equivalentes (proporciones).

Autoevaluación 2 Descripción:

Comprender razones equivalentes (proporciones).

Autoevaluación 3 Descripción:

Razones equivalentes a partir de diagramas de barras.

Autoevaluación 4 Descripción:

Razones equivalentes y unidades de medida.

Autoevaluación 5 Descripción:

Razones parte:todo a partir de diagramas de barras.

Autoevaluación 6 Descripción:

Ejercicios:

Calcula la razón de cada par de números y expresa el resultado como un número decimal.
De las siguientes parejas de números, escoge aquellas que tengan razón 3/5.
Calcula el término desconocido para cada proporción.

(Pág. 152)

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Relaciones de proporcionalidad

Tutorial (3'22") Sinopsis:

Concepto de magnitud. Magnitudes directamente e inversamente proporcionales.

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Relación de proporcionalidad directa

Actividad Descripción:

Cálculo del valor de varios a partir del valor de uno

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (resp. dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra queda multiplicada (resp. dividida) por el mismo número.

Advertencia

Es muy común pensar que dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar (resp. disminuir) una de ellas, aumenta (resp. disminuye) la otra. No es exactamente así. No es suficiente con que aumente (resp. disminuya) la otra magnitud, tiene que hacerlo de una forma muy concreta: Si multiplicamos (resp. dividimos) una, se multiplica (resp. divide) la otra, por el mismo número.

Ejemplo:

La capacidad de un depósito de agua y el tiempo que tarda en llenarse son magnitudes directamente proporcionales, ya que si el depósito tiene el doble (o el triple,...) de capacidad, el tiempo que tarda en llenarse es el doble (o el triple,...).

Capacidad (litros)	100	200	300	400	500
Tiempo (min)	5	10	15	20	25

Magnitudes directamente proporcionales

Tutorial 1 (1'00") Sinopsis:

Magnitudes directamente proporcionales. Ejemplo.

Tutorial 2 (4'16") Sinopsis:

Magnitudes directamente proporcionales. Ejemplos.

Tutorial 3 (4'31") Sinopsis:

Relaciones directamente proporcionales. Ejemplo.

Aviso: En este video llama "relaciones proporcionales" a lo que entendemos por "relaciones directamente proporcionales".

Ejercicio 1 (3'01") Sinopsis:

Hoy Nate tiene 100 plátanos. Él va a comer 2 plátanos de ellos cada día.

a) ¿El número de plátanos que Nate deja sin comer es directamente proporcional al número de días transcurridos?

b) ¿Y el número de plátanos que come cada día?

Aviso: En este video llama "relaciones proporcionales" a lo que entendemos por "relaciones directamente proporcionales".

Ejercicio 2 (1'56") Sinopsis:

Un cine cobra $10.50 por boleto y $5 por bolsa de palomitas. Tú nunca compras las palomitas porque te parece que son muy caras. ¿El precio total de lo que pagas es directamente proporcional al número de boletos que compras?

Aviso: En este video llama "relaciones proporcionales" a lo que entendemos por "relaciones directamente proporcionales".

Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes directamente proporcionales Descripción:

Actividades para aprender que son magnitudes directamente proporcionales.

Actividad 1 Descripción:

Actividades sobre magnitudes directamente proporcionales.

Actividad 2 Descripción:

Completa las tablas de manera que las magnitudes sean directamente proporcionales.

Actividad 3 Descripción:

Actividades sobre magnitudes directamente proporcionales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividad sobre magnitudes directamente proporcionales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre magnitudes directamente proporcionales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre magnitudes directamente proporcionales.

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Constante de proporcionalidad directa

Al dividir dos magnitudes directamente proporcionales siempre se obtiene el mismo valor. A dicho valor se le llama constante o razón de proporcionalidad.

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, en el que relacionabamos la capacidad de un depósito con el tiempo que tardaba en llenarse

Capacidad (litros)	100	200	300	400	500
Tiempo (min)	5	10	15	20	25

se observa que:

$\cfrac{100}{5} = \cfrac{200}{10} = \cfrac{300}{15} = \cdots = 20$

La constante de proporcinalidad es 20.

Constante de proporcionalidad directa (0'44") Sinopsis:

Razón de proporcionalidad directa. Ejemplo.

Constante de proporcionalidad directa

Constante de proporcionalidad directa (I) Descripción:

Actividades para aprender a calcular la constante de proporcionalidad directa.

Constante de proporcionalidad directa (II) Descripción:

Actividades para aprender a calcular la constante de proporcionalidad directa.

Ejercicio Descripción:

Halla la constante de proporcionalidad.

(Pág. 153)

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Relación de proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar (resp. dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra queda dividida (resp. multiplicada) por el mismo número.

Advertencia

Es muy común pensar que dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar (resp. disminuir) una de ellas, disminuye (resp. aumenta) la otra. No es exactamente así. No es suficiente con que disminuya (resp. aumente) la otra magnitud, tiene que hacerlo de una forma muy concreta: Si multiplicamos (resp. dividimos) una, se divide (resp. multiplica) la otra, por el mismo número.

Ejemplo:

El número de obreros que trabajan en una construcción y el tiempo que tardan en finalizarla son magnitudes inversamente proporcionales, ya que si el número de obreros es el doble (o el triple,...), el tiempo que tardan será la mitad (o la tercera parte, ...).

Número de obreros	2	4	10	20
Tiempo que tardan (horas)	20	10	4	2

Magnitudes inversamente proporcionales (3'10") Sinopsis:

Magnitudes inversamente proporcionales. Razón de proporcionaledad inversa.

Magnitudes inversamente proporcionales

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre magnitudes inversamente proporcionales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre magnitudes inversamente proporcionales.

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Constante de proporcionalidad inversa

Propiedad

Al multiplicar dos magnitudes inversamente proporcinales siempre se obtiene el mismo valor. A dicho valor se le denomina constante de proporcionalidad inversa.

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, en el que relacionabamos el número de obreros y el tiempo que tardan en finalizar una obra

Número de obreros	2	4	10	20
Tiempo que tardan (horas)	20	10	4	2

se observa que:

$2 \cdot 20 = 4 \cdot 10 = 10 \cdot 4 = 20 \cdot 2 = 40$

Constante de proporcionalidad inversa Descripción:

Actividades para que aprendas y practiques el cálculo de la constante de proporcionalidad inversa y sus uso para resolver problemas de proporcionalidad inversa.

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