Estudio y representación de funciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Estudio y representación gráfica de funciones

En este tema vamos a hacer uso de toda la artillería de la que disponemos y que hemos ido viendo a lo largo de los temas anteriores.

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función, f(x), tendremos que considerar los siguientes apartados:

  1. Dominio de definición.
  2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo: para su estudio usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinaran una serie de intervalos en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona.
  4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos: hallando los puntos singulares ( f '(x)=0 ) para estudiar el signo de f '(x).
  5. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  6. Asíntotas y ramas infinitas.
  7. Simetrías: ver si f(x) es par ( f(x) = f(-x) ) o impar ( f(x) = - f(-x) ).

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función polinómica, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

  1. Dominio: \mathbb{R}.
  2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver una ecuación polinómica usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos sólo los puntos de corte ya que una función polinómica no tiene discontinuidades.
  4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
  5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares de f(x) y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
  6. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  7. Asíntotas y ramas infinitas: Las funciones polinómicas no tienen ningún tipo de asíntotas. Tan sólo habrá que estudiar el límite cuando x tiende a +/- infinito.
  8. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas


Estudia y representa:

a) y=x^3-3x^2+4\;.
b) y=3x^4+4x^3-36x^2+100\;.
c) y=-3x^4+4x^3\;.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones polinómicas


(Pág. 316)

1b,c

1a

Estudio y representación gráfica de funciones racionales

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función racional, f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)},tendremos que determinar los siguientes apartados:

  1. Dominio: \mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x)=0 \}.
  2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0.
  4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
  5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
  6. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  7. Asíntotas y ramas infinitas:
    1. A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V.
    2. A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal.
    3. A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua.
    4. Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas.
  8. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones racionales


Estudia y representa:

a) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}.
b) \cfrac{x^3}{x^2+1}.
c) \cfrac{x^2+1}{x^2-2x}.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones racionales


(Pág. 318)

2b,c,e

2a,d,f

Apéndice

Herramientas personales
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