Sistemas de ecuaciones (1ºBS)

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Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones

(pág. 81)

  • Un sistema de n ecuaciones con m incógnitas o simplemente, sistema nxm, es la agrupación de n ecuaciones con m incógnitas.
  • Se llama solución de un sistema nxm a cualquier conjunto de m valores (uno de cada incógnita) que sea solución de todas las ecuaciones a la vez.
  • Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.
  • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Por ejemplo, un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas o simplemente, sistema 2x2, es la agrupación de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (por ejemplo "x" e "y"). Se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores (x,y) que sea solución de las dos ecuaciones a la vez.

Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
  • Usaremos las siguientes siglas para abreviar:
    • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
    • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
    • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Métodos de resolución de sistemas

(pág. 81)

Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en las otras:

  • En el caso de sistemas 2x2, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo en la expresión que obtuvimos al despejar en el paso previo.
  • En el caso de sistemas de más de 2 incógnitas hay que repetir el proceso hasta quedarse con una sola ecuación con una incógnita. Una vez hallada ésta, se sustituye su valor en la expresión que obtuvimos al despejar, repitiendo estos pasos hasta tener todas las soluciones.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Método de sustitución


Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

\begin{cases} \qquad 2x-y & = 9 \\ \sqrt{x+y} + y & = x \end{cases}

Método de igualación (sistemas 2x2)

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación


Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

\begin{cases} x \ = \ y^2 \\ x \ = \ 2(y-1)+5 \end{cases}

Método de reducción

  • Para sistemas 2x2, el método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida (multiplicándolas por un número, si fuera necesario), de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido en las ecuaciones de partida.
  • Para sistemas con más de 2 ecuaciones se procede de forma análoga al método 2x2. En el caso particular de sistemas lineales se usará el método de reducción de Gauss.


Nota: Este método se puede usar siempre que los sistemas sean de ecuaciones lineales. En caso contrario, sólo se podrá usar en contadas ocasiones en las que las ecuaciones cumplan ciertos requisitos, como ocurre en el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción


Resuelve el siguiente sistema:

\begin{cases}2 \, log\,x-log\,y  = 5 \\ log \,(xy)  = 4 \end{cases}

Actividades y problemas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de sistemas de ecuaciones


(Pág. 82)

2a,b,c; 3a,b,c

2d; 3d

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