Números racionales: Potencias

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Tabla de contenidos

1 Potencia de una fracción
2 Potencias de exponente negativo
3 Propiedades de las potencias de números racionales
4 Ejercicios

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Potencia de una fracción

Procedimiento: Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia.

$\left( \cfrac{a}{b} \right) ^n = \begin{matrix} ~ \\ \underbrace{ \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cdots \cdot \cfrac{a}{b} } \\ n \, \mbox{veces} \end{matrix} = \cfrac{a^n}{b^n}$

Ejemplo:

$\left( \cfrac{3}{2} \right) ^3 = \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} = \cfrac{3^3}{2^3}=\cfrac{27}{8}$

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}$

Como consecuencia:

Propiedad

$\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)$

Ejemplos:

Potencias de exponente negativo

Tutorial 1 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52") Sinopsis:

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22") Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39") Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $4^{-3} \cdot 4^5\;$

b) $a^{-4} \cdot a^2\;$

c) $\cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;$

d) $\cfrac{x^{-20}}{x^5}\;$

Ejercicio 2 (5'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;$

b) $(a^{-2} \cdot 8^7)^2\;$

c) $\left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Halla el valor de:

11) $100^{-1}\;$ ; 12) $100^{-3}\;$ ; 13) $10^{-4}\;$ ; 14) $(10^{-3})^{-1}\;$

15) $(-3)^{-2}\;$ ; 16) $2^{-1}\;$ ; 17) $\left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\;$ ; 18) $\left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\;$ ; 19) $\left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;$

Potencias de exponente negativo

Actividad 1 Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3^{-5}\;$ b) $5^{-3}\;$ c) $7^{-2}\;$ d) $2^{-7}\;$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Potencias de fracciones

Tutorial (10'06") Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Ejercicio 1 (9'43") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3$

b) $\left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}$

Ejercicio 2 (4'05") Sinopsis:

Simplifica $\cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}$

Ejercicio 3 (2'08") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2$

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando previamente:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4$ b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3$ c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2$ e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2$ f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0$

Solución:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}$

c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}$

e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0=1$

Potencias de fracciones. Propiedades

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de fracciones.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números racionales.

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Ejercicios

Ejercicios:

1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) $\cfrac{-5^2}{5^5}$ b) $\cfrac{0,001}{10^2}$ c) $\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $\cfrac {1}{100.000}$ c) $\cfrac{a^2}{b}$

2. Simplifica:

a) $\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3$ b) $\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2$ c) $\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $81 \;\!$ c) $-\cfrac{1}{3}$

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}$

Solución:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2}= \frac{(2.3)^3.(2^3)^4}{1.3^3.2^6}= \frac{2^3.3^3.2^{12}}{3^3.2^6}= \frac{2^{15}.3^3}{3^3.2^6}=2^9$

$b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4}= \frac{(5^2)^3.3^{-2}}{(3.5)^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3^4.5^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3.5^8}= 5^{-2}.3^{-3}= \frac{1}{5^2.3^3}$

$c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}= \frac{(2.5)^3.2^4.5^2}{2^2.5^2.2^3.5^2}= \frac{2^7.5^5}{2^5.5^4}=2^2.5$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Potencias"

 }}
 {{p}}
-==Potenciación de fracciones==
+==Potencia de una fracción==
-Las potencias con números racionales cumplen las mismas [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales propiedades] que con números naturales y enteros.{{p}}
+{{Def: potencia fracción}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:{{p}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_1.html
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 {{p}}
-<center><iframe>
+==Potencias de exponente negativo==
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_2.html
+{{Def potencia exponente entero}}
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
 {{p}}
-Tan sólo queda añadir el siguiente caso:
+{{AI potencias exponente entero}}
-===Potencias de exponente negativo===
-{{Caja Amarilla|texto=
-Sea <math>n \in \mathbb{N}</math>, se define la potencia de exponente negativo como:
-{{Caja|contenido=<math>a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}</math>}}
-Como consecuencia, <math>\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}</math>.}}
 {{p}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
-<center><iframe>
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de exponente negativo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.''' Potencias de exponente negativo.
-|actividad=
-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-a) <math>3^{-5}</math>{{b}}b) <math>5^{-3}</math>{{b}}c) <math>7^{-2}</math>{{b}}d) <math>2^{-7}</math>
-<center><iframe>
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.
-Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2.''' Autoevaluación.
-|actividad=
-Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_3.html
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-}}
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de racionales''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.''' Autoevaluación: Operaciones con potencias de racionales.
-|actividad=
-Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN  para ver si lo has hecho bien.
-{{p}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_3.html
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_3.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas:''Potencias''
-|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Producto de potencias.
-|actividad=Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:
-<math>a)\ 2^3.2^7 \quad b)\ 3^5.3^3 \quad c)\ 5^5.5^3 \quad d)\ 2^{-3}.2^5 \quad e)\ 3^{-5}.3^{-3} \quad f)\ 5^{-5}.5^3
-</math>
-<br>
-Comprueba tus resultados en la siguiente escena.
-<br>
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/producto.html
-width=100%
-height=250
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/producto.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' Cociente de potencias.
-|actividad=Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:
-<math>a)\ \frac{2^7}{2^3} \quad b)\ \frac{3^5}{3^3} \quad c)\ \frac{5^3}{5^3} \quad d)\ \frac{2^7}{2^{-3}} \quad e)\ \frac{3^{-2}}{3^2} \quad f)\ \frac{5^{-4}}{5^{-3}}
-</math>
-<br>
-Comprueba tus resultados en la siguiente escena.
-<br>
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/cociente.html
-width=100%
-height=350
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/cociente.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 3:''' Potencia de un producto.
-|actividad=Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:
-<math>a)\ (2.5)^6 \quad b)\ (3.4)^2 \quad c)\ (2.8)^3 \quad d)\ (4.6)^4 \quad e)\ (2.5)^{-2} \quad f)\ (3.2)^{-3} \quad g)\ (2.5)^{-3}
-</math>
-<br>
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.
-<br>
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciaproducto.html
-width=100%
-height=350
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciaproducto.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 4:''' Potencia de un cociente.
-|actividad=Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:
-<math>a)\ \left( \frac{8}{2} \right )^6 \quad b)\ \left( \frac{8}{4} \right )^2 \quad c)\ \left( \frac{10}{5} \right )^3 \quad d)\ \left( \frac{8}{4} \right )^{-2} \quad e)\ \left( \frac{10}{5} \right )^{-3} \quad f)\ \left( \frac{9}{3} \right )^{-4}
-</math>
-<br>
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.
-<br>
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciacociente.html
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-height=350
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciacociente.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 5:''' Potencia de una potencia.
-|actividad=Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:
-<math>a)\ (2^3)^7 \quad b)\ (3^5)^3 \quad c)\ (5^5)^3 \quad d)\ (2^{-3})^2 \quad e)\ (3^3)^{-2} \quad f)\ (5^{-2})^{-3}
-</math>
-<br>
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.
-<br>
-<center><iframe>
+==Propiedades de las potencias de números racionales==
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciapotencia.html
+{{Propiedades de las potencias de números racionales}}
-width=100%
-height=350
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciapotencia.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
 ==Ejercicios==

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