Potencias y raíces de números enteros (2º ESO)

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(Pág. 36)

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Potencias de números enteros

Antes de empezar Descripción:

Bits, bytes, megas y más.

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

Potencias de números enteros

Tutorial 1 (6'09") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07") Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.

Tutorial 4 (9'54") Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37") Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

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Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplos:

Potencias de números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

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Signo de la potencia

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Signo de la potencia

Tutorial (3'23") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58") Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

$4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4$

2) Escribe en forma de potencia:

a) $3 \cdot 3 \;$

b) $(-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;$

c) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;$

d) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;$

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

$7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

$15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4$

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

$3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6$

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.

b) Once elevado al cubo.

c) Tres elevado a la quinta.

d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

$(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2$

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

$1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}$

Signo de la potencia

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
Actividad para practicar las potencias de enteros.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $( - 3) 4$ b) $( - 4) 5$ c) $( - 10) 5$ d) $( - 2) 10$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

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Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Propiedades de las potencias de números enteros

Tutorial 1a (6'46") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencias de exponente 0.
Potencias de exponente 1.
Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.

Tutorial 1b (5'05") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencia de otra potencia.
Potencia de un producto.
Potencia de un cociente.

Ejercicio 1 (7'58") Sinopsis:

Calcula:

a) $(-2)^4 \cdot (-2)^3\;$ ; b) $(-6)^9 : (-6)^4\;$

c) $(-8)^2 \cdot (-8)^3\;$ ; d) $(-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;$

e) $(-3)^7 : (-3)^4\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot (-2)^2\;$

g) $(-7)^{12} : (-7)^{10}\;$ ; h) $(-10)^3 : (-10)^2\;$

Ejercicio 2 (12'23") Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) $[(-2)^3]^5\;$ ; b) $[(-3)^2]^3\;$

c) $[(-5)^2]^4\;$ ; d) $[(-6)^3]^3\;$

e) $(2^4)^5\;$ ; f) $(3^4)^2\;$

g) $[(-2)^1]^6\;$ ; h) $[(-2)^2]^6\;$

i) $(3^{10})^2\;$ ; j) $(3^2)^{10}\;$

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) $[(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;$

b) $[(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;$

c) $[2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;$

a) $[(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;$

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) $(-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;$

b) $(-2)^4 \cdot 3^4\;$

c) $2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;$

d) $(-3)^6 \cdot (-10)^6\;$

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07") Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) $2 \cdot (-3)^2\;$ ; b) $3 \cdot (-2)^2\;$

c) $-1 \cdot (-3)^2\;$ ; d) $-1 \cdot (-2)^2\;$

e) $-2 \cdot (-3)^2\;$ ; f) $-5 \cdot (-5)^2\;$

g) $2 \cdot (-3)^2\;$

Ejercicio 4 (12'24") Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

$(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;$

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) $(-5)^8 : (-5)^5\;$ ; b) $(-10)^5 : (-10)^3\;$

c) $(-20)^5 \cdot (-20)^3\;$ ; d) $(-6)^2 \cdot 6^3\;$

e) $(-3)^4 \cdot 3^2\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot 2^3\;$

Ejercicio 5 (2'09") Sinopsis:

Simplifica: $2 a^3 \cdot a^5$

Ejercicio 6 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 7 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 8 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 9 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Propiedades de las potencias de enteros

Actividad 1: Potencias de productos y cocientes Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5 Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 3

2.1. Potencia de un producto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Potencias con números enteros

(Pág. 36)

2; 3; 5; 6

Ejercicios propuestos: Propiedades de las potencias con números enteros

(Pág. 38)

7a,c,e; 8; 9; 11; 12; 14; 15; 18; 20; 21a,c,e; 22a,c,e;

7b,d; 10; 13; 16; 17; 19; 21b,d,f; 22a,c,e;

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Raíces cuadradas de números enteros

La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.

Ver: Raíz de un número natural

La raíz cuadrada de un número $a\;$ es otro número $b\;$ que elevado al cuadrado da $a\;$ . Simbólicamente:

$\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a$

Al número $a\;$ se le llama radicando y al número $b\;$ se le llama raíz.

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Número de soluciones de una raíz cuadrada

Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:

Número de soluciones de la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.

La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

Ejemplos:

$\sqrt{+9}=\pm 3$ , porque $3^2=9\,$ y $(-3)^2=9\,$ .

$\sqrt{-9}$ no existe, porque no hay níngún número cuyo cuadrado sea negativo, -9.

Raíz cuadrada de un número entero

Tutorial 1 (5'07") Sinopsis:

Raíz cuadrada de un número entero. Ejemplos

Tutorial 2 (para ampliar) (7'00") Sinopsis:

Simplificando raíces ccuadradas no exactas: 5\,\sqrt{117}

Raíces cuadradas de números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular raíces de números enteros.
Actividad para practicar las raíces de números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre raíces cuadradas exactas y enteras.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de números enteros.

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Raíces cuadradas con la calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt {16}$

Procedimiento: $16\;\!$

Solución: $4\;\!$

Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Raíces de números enteros

(Pág. 39)

1, 2

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Raíces cúbicas

La raíz cúbica de un número $a\;$ es otro número $b\;$ que elevado al cubo da $a\;$ . Simbólicamente:

$\sqrt[3]{a}=b \ \iff \ b^3=a$

Al número $a\;$ se le llama radicando y al número $b\;$ se le llama raíz.

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Número de soluciones de una raíz cúbica

Con las raíces cuadradas, dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Con las raíces cúbicas siempre existe, pero es única.

Número de soluciones de la raíz cúbica

La raíz cúbica de un número entero tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando.

Ejemplos:

$\sqrt[3]{+8}= +2$ , porque $(+2)^3=+8\,$ .

$\sqrt[3]{-8}= -2$ , porque $(-2)^3=-8\,$ .

Raíz cúbica de un número entero

Tutorial 1 (5'24") Sinopsis:

Raíz cúbica de un número entero. Ejemplos

Tutorial 2 (5'07") Sinopsis:

Raíz cúbica de un número entero. Ejemplos

Tutorial 3 (para ampliar) (7'00") Sinopsis:

Simplificando raíces cúbicas no exactas: $\sqrt[3]{3430}$

Ejercicio (4'21") Sinopsis:

Calcula: $\sqrt[3]{-512}$

Raíces cúbicas de números enteros

Actividad Descripción:

Aprende a calcular raíces cúbicas.

Autoevaluación Descripción:

Calcula raíces cúbicas.

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Raíces de otros índices (Ampliación)

La raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a \;$ es otro número $b \;$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

Ejemplo

$\sqrt[5]{32}=2\;$ porque $2^5 =32\;$ .

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

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Propiedades

Propiedades

$\sqrt[n]{1}=1$ ; $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .

Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .

Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.

Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.

Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .

$\sqrt[5]{0}=0$ .

$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .

$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .

$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .

$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

La raíz n-ésima

Tutorial 1 (9´53") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48") Sinopsis:

Raíces de un número entero.
Raíces cuadradas y cúbicas.
Partes de una raíz.
Raíces de números positivo, negativos y del cero.
Raíz exacta y raíz entera.
Calculo manual de raíces cuadradas.
Los radicales.
Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1a (30´30") Sinopsis:

1) Completa:

1a) $Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...$

1b) $Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...$

1c) $Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...$

1d) $Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...$

2) Completa:

2a) $Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...$

2b) $Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...$

2c) $Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...$

2d) $Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...$

2e) $Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...$

2f) $Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...$

3) Completa:

3a) $Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...$

3b) $Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...$

3c) $Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...$

3d) $Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...$

3e) $Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...$

3f) $Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...$

3g) $Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...$

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe $\sqrt{-25}\;$ ?

4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe $\sqrt{-36}\;$ ?

4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?

4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe $\sqrt[3]{-27}\;$ ?

4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe $\sqrt[3]{-64}\;$ ?

4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?

4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe $\sqrt[4]{-81}\;$ ?

4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe $\sqrt[5]{-243}\;$ ?

4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) $\sqrt{1}\;$ ; $\sqrt{-1}\;$

5b) $\sqrt{4}\;$ ; $\sqrt{-4}\;$

5c) $\sqrt{9}\;$ ; $\sqrt{-9}\;$

5d) $\sqrt{16}\;$ ; $\sqrt{-16}\;$

5e) $\sqrt{25}\;$ ; $\sqrt{-25}\;$

5f) $\sqrt{36}\;$ ; $\sqrt{-36}\;$

5g) $\sqrt{49}\;$ ; $\sqrt{-49}\;$

5h) $\sqrt{64}\;$ ; $\sqrt{-64}\;$

5i) $\sqrt{81}\;$ ; $\sqrt{-81}\;$

5j) $\sqrt{100}\;$ ; $\sqrt{-10}\;$

6) Calcula:

6a) $\sqrt[3]{1}\;$ ; $\sqrt[3]{-1}\;$

6b) $\sqrt[3]{8}\;$ ; $\sqrt[3]{-8}\;$

6c) $\sqrt[3]{27}\;$ ; $\sqrt[3]{-27}\;$

6d) $\sqrt[3]{64}\;$ ; $\sqrt[3]{-64}\;$

6e) $\sqrt[3]{125}\;$ ; $\sqrt[3]{-125}\;$

6) Calcula:

7a) $\sqrt[4]{1}\;$ ; $\sqrt[4]{-1}\;$

7b) $\sqrt[5]{32}\;$ ; $\sqrt[5]{-32}\;$

7c) $\sqrt[6]{729}\;$ ; $\sqrt[6]{-729}\;$

7d) $\sqrt[7]{128}\;$ ; $\sqrt[7]{-128}\;$

Ejercicio 1b (28´06") Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) $\sqrt{25}\;$

8b) $\sqrt[3]{-64}\;$

8c) $\sqrt[4]{81}\;$

9) Completa:

9a) $\sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9b) $\sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9c) $\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9d) $\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9e) $\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9g) $\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) $\sqrt{14}\;$ ; $\sqrt[3]{14}\;$

10b) $\sqrt{20}\;$ ; $\sqrt[3]{20}\;$

10c) $\sqrt{39}\;$ ; $\sqrt[3]{39}\;$

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) $\sqrt{4069}\;$

11b) $\sqrt{8315}\;$

Ejercicio 1c (31´57") Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) $\sqrt{49625}\;$

11d) $\sqrt{987654}\;$

11e) $\sqrt{448056}\;$

11f) $\sqrt{865432}\;$

La raíz n-ésima Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

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Operaciones combinadas con números enteros

A la hora de operar con números enteros utilizaremos la misma jerarquía de operaciones que con números naturales:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números naturales

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las potencias y las raíces.
Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.

Operaciones combinadas con enteros

Tutorial 1 (19'37") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos el orden en el que hay que realizar las operaciones con números, lo que se llama la jerarquía de operaciones.

00:00 a 03:47 : Conceptos básicos. Jerarquía de operaciones.
03:47 a 19:37 : Ejercicios de Operaciones Combinadas.

Tutorial 2 (12´36") Sinopsis:

Operaciones combinadas con enteros.

Operaciones combinadas con enteros

Autoevaluación 1 Descripción:

En esta escena podrás practicar las operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación, cociente, potencia y raíz; con o sin paréntesis.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números enteros.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números enteros.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números enteros. Incluye raíces y potencias.

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Problemas resueltos

Problemas: Números enteros

Problemas 1 (14'43") Sinopsis:

1) En las carreras de caballos un espectador apostó en 4 carreras y los resultados fueron estos: en la primera perdió 50 €;, en la segunda perdió 30 €; en la tercera ganó 40 € y en la cuarta ganó 600 €. ¿Cuál fue el balance total de sus apuestas?

2) La temperatura de una ciudad medida a las 7 de la mañana es de 4º sobre cero; de 7 a 10, la temperatura aumentó 5º; de 10 a 2 la temperatura aumentó 4º; de 2 a 5 no varió; de 5 a 9 descendió 3º y de 9 a 12 descendió 7º. ¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche?

3) A primeros de mes, Luis tenía en su cuenta 500 €. Al día siguiente ingresó 50 €. Al otro día sacó 200 € y a la semana siguiente sacó 100 €. El día 29 ingresó 250 € que le pagó un amigo. ¿Qué dinero le queda a final de mes?

Problemas 2 (12'22") Sinopsis:

4) Una sustancia que se encuentra a 50º pasa a 5º bajo cero. ¿Cuál es la variación de la temperatura?

5) La temperatura de una barra de hielo en un día de invierno es de 2º bajo cero. Se calienta y pasa a 50º sobre cero. ¿Cuál es la variación de temperatura?

6) En un juego, Luis ganó 12 cromos, después perdió 15 cromos, más tarde ganó 27 cromos y luego perdió 7 cromos. ¿Cuál fue el balance del juego?

7) Una sustancia que está a 11º bajo cero se calienta hasta ponerse a 11º sobre cero. ¿Cuál es la variación de temperatura?

8) Al construir un edificio de 10 plantas y 3 sótanos, el nivel de la calle donde está se considera altura cero; por encima, las alturas son positivas, y por debajo, negativas. calcula la distancia recorrida por un ascensor que va:

de la altura -7 a la altura +25.
de la altura -2 a la altura -8.
de la altura +4 a la altura +15.

Problemas 3 (18'36") Sinopsis:

1) Una colección de libros de historia consta de 150 libros. El precio de los tres primeros juntos es de 32 euros, y el precio de los restantes hasta la mitad de la colección se vende a 25 euros cada libro. La segunda mitad de la colección se vende a 22 euros cada libro. ¿Cuál es el importe total de la colección?

2) Una isla tiene una superficie de 140 km², y la densidad de población en esta isla (número de habitantes por km²) es de 250. La isla tiene 6 árboles por persona. ¿Cuál es el número aproximado de árboles de la isla?

3) En una bodega hay las siguientes cantidades de vino:

8 toneles con 10 000 litros cada uno.
15 toneles con 8 hl cada uno.
20 toneles con 6 hl cada uno.

Calcula el total de litros de vino que hay en la bodega.

Problemas 4 (4'57") Sinopsis:

Problemas de sumas y restas de enteros con o sin paréntesis.

Problemas 1 Descripción:

Problemas resueltos con números enteros.

Problemas 2 Descripción:

Problemas resueltos con números enteros.

Problemas 3 Descripción:

Problemas resueltos con potencias y raíces de números enteros.

Problemas 4 Descripción:

En esta escena podrás resolver problemas de compras en los que intervienen sumas, restas y multiplicaciones de números enteros.

Problemas: Operaciones con enteros

1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?

Solución:

1' 12"

2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. y murió el año 496 a.C. ¿A qué edad murio? ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C. desde su muerte?

Solución:

-496 - (-582) = -496 + 582 = 86, luego murió a la edad de 86 años.

2007 - (-496) = 2007 + 496 = 2503. Pero como no hay "año cero", hay que restarle uno. Por tanto, han pasado 2502 años.

3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?

Solución:

2.300 m.

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