Potencias (3ºESO Académicas)

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-==Potencias de exponente entero==+==Potencias de números racionales==
-===Potencias de exponente positivo===+Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. Las potencias cuya base es un número racional se definen y tiene las mismas propiedades que las que tienen como base un número entero. En el siguiente enlace puedes repasar estas últimas.
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-===Potencias de exponente negativo===+La definición de potencia de números racionales es la misma que la de números enteros.
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 +==Propiedades de las potencias de números racionales==
 +Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que las potencias de números enteros.
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 +Ver: [[Números enteros: Potencias y raíces (1º ESO)#Propiedades de las potencias de enteros|'''Propiedades de las potencias de números enteros''']]
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Tabla de contenidos

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Potencias de números racionales

Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. Las potencias cuya base es un número racional se definen y tiene las mismas propiedades que las que tienen como base un número entero. En el siguiente enlace puedes repasar estas últimas.

Ver: Potencias de números enteros

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Definición de potencia de un número racional

La definición de potencia de números racionales es la misma que la de números enteros.

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

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Potencias de base negativa

ejercicio

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

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Potencias de exponente entero negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad

\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que las potencias de números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}


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Ejercicios

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Ejercicios resueltos

ejercicio

Ejercicios: Operaciones con potencias

Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3 \cdot 8^4}{3^0 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 2^2} \quad b)\ \frac{25^3 \cdot 3^{-2}}{15^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4} \quad c)\ \frac{10^3 \cdot 16 \cdot 5^2}{100 \cdot 8 \cdot 25}

(Pág. 28)

ejercicio

Ejercicios resueltos

Reducir a una sola potencia:

a) 5^2 \cdot 5^6 \cdot 5^3        b) (2^3)^4\;
c) \cfrac{5^8}{5^6}        d) \cfrac{14^5}{7^5}
e) 2^7 \cdot 5^7        f) (7^4 \cdot 7^5) : (7 \cdot 7^3)^2

(Pág. 29)

ejercicio

Ejercicios resueltos

1. Expresa como potencia de base 10:

0.000\,000\,000\,000\,1

2. Simplifica:

a)\left( \cfrac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{9}{5} \right)^{-3}        b) \left[ \left( \cfrac{5}{2} \right)^{-2} \right]^{-3}        c) \cfrac{2^{-6} \cdot 4^3 \cdot 3^4 \cdot 9^{-2}}{2^{-4} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 3^{-5}}
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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Potencias

    (Pág. 28-29)

     1, 2, 3, 4, 5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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